Во второй главе представлена разработанная математическая модель связи пористости ППК с фракционными характеристиками выгорающих добавок и их объёмной концентрацией.

Поскольку на фильтрующие свойства ППК оказывает влияние характер распределения выгорающих добавок по объёму материала и их фракционный состав, то для моделирования пористости необходимо иметь модель структуры ППК. Получить аналитическую модель стохастической структуры не представляется возможным, поэтому было принято решение о моделировании структуры ППК на компьютере. Для этих целей была применена вероятностно-геометрическая концепция формирования структуры, при которой образование структуры заменяется моделированием процесса случайного заполнения объема сферами с распределенными размерами и ориентацией.

Был разработан моделирующий алгоритм и программа «Jpak» на его основе, функционирующие следующим образом: с помощью датчика псевдослучайных чисел разыгрываются обобщенные координаты пакуемой сферы (три координаты центра в декартовой системе координат и диаметр), осуществляется проверка на попадание пакуемой сферы в заданный объем (в данном случае в виде куба)

, при к = 1,2,3, (1)

на непересечение вновь упакованной сферы с ранее упакованными

и с границами объема

где: Rmin – разыгранный радиус пакуемой сферы; Vi – объём пакуемой сферы Vj – объём ранее упакованной сферы; X(k) – координаты пакуемой сферы; Ri – радиус пакуемой сферы

Также осуществляется проверка на попадание разыгранного диаметра в заданный гранулометрический состав. Разработанный алгоритм позволяет получить упаковку с максимальной объемной концентрацией 0,35…0,4 от единичного объема куба и имитировать процесс уплотнения, когда происходит проникновение более мелких фракций в промежутки между более крупными, что выгодно отличает разработанный алгоритм от ранее известных.

В результате моделирования была получена модель структуры ППК в виде матрицы обобщённых координат, где хранятся данные о координатах каждой упакованной сферы и её радиусе. На рис.1 показана структура ППК по результатам моделирования.

Рис. 1 Структура ППК по результатам моделирования

Математическая модель связи пористости ППК с гранулометрическими характеристиками выгорающих добавок и их объёмной концентрацией строилась в приближении теорий «эффективной среды» и «перколяции» (percolation).

Суть теории «эффективной среды» состоит в том, что каждый отдельный элемент гетерогенной смеси считается помещенным в однородную «эффективную среду» с удельными свойствами (в данном случае пористостью), совпадающими с их истинными величинами для композиции в целом. В этом случае в результате расчетов получают «эффективные» значения пористости материала, исходя из пористости отдельных компонентов.

Предположим, что увеличение объёмной концентрации заполнителя приводит в изменению «свойства» композиционного материала (например, увеличению пористости ППК). Качественная зависимость «свойства» композита от объёмной концентрации заполнителя в этом случае изображена на рис. 2.

При малых объемных концентрациях заполнителя его частицы образуют изолированные островки или группы островков (кластеры) в связующей матрице. Свойство такого материала близко к свойству связующей матрицы и постепенно возрастает с ростом концентрации заполнителя (зона «А» на рис. 2).

При относительной объемной концентрации заполнителя, близкой к единице, островки и кластеры уже образует связующая матрица. Свойство такого композита будет близко к свойству чистого заполнителя и стабилизируется у этого значения (сплошная линия в зоне «В» на рис. 2). Необходимо отметить, что существование такой структуры возможно чисто теоретически, поскольку в нашем случае заполнитель представляется в виде пустот образовавшихся в результате выгорания добавок. В реальности, когда объёмная концентрация заполнителя становится такой, что материал связующей матрицы уже не в состоянии скреплять частицы заполнителя, говорить о каких-либо свойствах композита не имеет смысла, поскольку сам композит не может существовать. Например, в этом случае происходит резкое падение прочности из-за разрушения композита даже без приложения внешней силы (пунктирная линия в зоне «В» на рис. 2).

Рис. 2. Качественная зависимость «свойства» композита от объёмной концентрации заполнителя

В промежуточном случае при некоторой концентрации заполнителя начинает образовываться и развиваться так называемый «бесконечный кластер» (цепочки пустот, по которым жидкость может просачиваться через материал). Этой концентрации соответствует резкое, пороговое возрастание свойства композита (зона «Б» на рис. 2), а сама такая концентрация заполнителя называется «критической концентрацией» Vккон.

Теория «эффективной среды» достаточно хорошо объясняет ход кривой изменения свойства композиционных материалов в зонах «А» и «В», но не позволяет получить пороговый характер изменения в зоне «Б» (см. рис. 2).

Изменение свойств композитного материала в зоне «Б» объясняет так называемая теория «перколяции» (percolation), названная так в связи с тем, что первая постановка задачи этой теории была связана с исследованием распространения жидкости или газа в случайной среде. Эта теория является разделом теории вероятностей, в котором изучаются свойства связных компонент случайных графов. Термин «перколяция» (просачивание) связан с интерпретацией рёбер случайного графа как каналов, по которым распространяется жидкость, вытекающая из фиксированной вершины-источника. В настоящее время наиболее важной областью применения теории просачивания является изучение неупорядоченных систем.

В случае применения теории «перколяции» для определения пористости ППК можно констатировать, что пористость всего ППК степенным образом зависит от объёмной концентрации выгорающих добавок по выражению (4):

где Vкон – объемная концентрация выгорающих добавок (заполнителя); Пз – удельная пористость заполнителя: Пк – удельная пористость керамической матрицы; Vккон – критическая концентрация (порог перколяции); q, s, t – показатели степени (в терминах теории «перколяции» - критические индексы).

Под критической концентрацией в данном случае следует понимать наибольшую объемную концентрацию заполнителя, при которой начинается образование бесконечного кластера.

существует доказанная общей теорией фазовых переходов связь:

?????????????????$??$??$??$???????љ

???????6

уйгйгФИйгАг°ЁњЁњЁЌz°ЁtгАгАrгАгАгАгkгАгkгkг

??????ции»), аналитические выражения не получены до сих пор.

Единственным аналитическим решением для континуальных задач в теории «перколяции» является результат, полученный для двухфазной системы Эфросом и Шкловским, которые аналитически показали, что S2 = 0,5 (индекс 2 означает, что рассматривается двухфазная смесь). В этом случае q2 = t2, т.е. в нашем случае в докритической и послекритической областях объёмных концентраций выгорающих добавок изменение П идет с одинаковым темпом.

В этом случае нет необходимости искать значения критических индексов, а, основываясь на том, что теория «эффективной среды» удовлетворительно описывает концентрационное поведение в докритических и послекритических областях, можно воспользоваться выводами этой теории.

Решая уравнение Ландауэра-Бруггемана теории «эффективной среды» с наложением на него степенных зависимостей теории «перколяции» (4), получим:

В этом случае по аналогии с (4) для объемных концентраций ниже и выше порога перколяции имеем:

Используя выражения (7), можно получить «эффективное» значение пористости ППК умножением правой и левой частей на пористость заполнителя Пз.

Решая (7) относительно Vкон получим требуемую объёмную концентрацию выгорающих добавок для получения ППК с заданной пористостью.

Таким образом, для расчёта требуемой объёмной концентрации выгорающих добавок по выражению (8) имеются все необходимые данные, кроме значения критической концентрации Vккон.

Анализируя зону «Б» на рис. 2 можно сделать вывод, что «критическая концентрация» пустот в ППК соответствует моменту резкого возрастания пористости. Одновременно с этим в соответствии с кластерной теорией этому моменту соответствует начало просачивания жидкости через композиционный материал.

Если воспользоваться электротехнической аналогией, то критической концентрации соответствует момент, когда материал из непроводящего электрический ток, превращается в проводящий. В этом случае, представив заполнитель проводником и рассчитав значение электрического сопротивления материала в зависимости от объёмной концентрации заполнителя, критическую концентрацию можно определить как значение объёмной концентрации, при которой происходит резкое падение электрического сопротивления материала.

Представим, что гипотетический образец ППК, полученный по результатам моделирования структуры помещен между двумя плоскими проводящими пластинами. Если теперь определить разность потенциалов между этими пластинами при известном токе источника (которым можно задаться), то определение сопротивления образца труда не представит. Таким образом, сложность задачи заключается в определении разности потенциалов на пластинах при известном токе через образец, но неизвестном его сопротивлении.

Заменим структурную модель образца электрической моделью. Для этого представим промежутки между проводящими элементами (сферами) в виде активных проводимостей. Если определить значения этих проводимостей, то, воспользовавшись, методом узловых потенциалов, можно определить потенциалы пластин, что и требуется.

Для определения проводимости между двумя сферическими включениями в приближении теории «эффективной среды» можно воспользоваться моделью «противопоставлений», предложенной Рейнольдсем и Хью, суть которой заключается в противопоставлении отдельно выбранной частице системы остальных частиц, т.е. вычисление проводимостей между включениями производить в предположении того, что каждую частицу «k» можно рассматривать как находящуюся в однородной среде и находить проводимость между ней и «k+1» частицей. Таким образом, просчитав сопротивление «k»-ой частицы со всеми остальными частицами (k=1, 2,...,n , где n - номер частицы, упакованной в гипотетический объем), составив и решив уравнения на основе законов Кирхгофа, можно определить разность потенциалов между пластинами.

Для расчёта проводимости между двумя сферическими включениями, помещенными в однородную среду, воспользуемся диполярной (бисферической) системой координат (рис. 3).