Отсутствие последействия (памяти о прошлом) - это такое свойство потока, когда вероятность поступления определенного количества заявок в течение интервала ti, ti+1(счета заявок) не зависит от количества заявок, поступивших в систему до момента t начала счета (наблюдения).

Математически доказано, что если поток простейший, то интервалы времени ti+1-ti между моментами поступления заявок в обслуживающую систему могут быть описаны экспоненциальным законом распределения вероятностей

где функция F(t) равна вероятности того, что за время t в систему поступит хотя бы одна заявка.

Математическое ожидание интервала времени между потребителями (заявками), поступающими в обслуживающую систему, определим как

Таким образом, параметр ?, представляет собой среднюю частоту поступления заявок в обслуживающую систему и называется средней интенсивностью потока заявок

Время, затрачиваемое на выполнение тех или иных технологических операций (в дальнейшем просто время обслуживания), является важнейшим показателем эффективности функционирования систем обслуживания в целом.

Законы распределения времени обслуживания определяются из опыта, путем статистических исследований численных значений времени обслуживания в реальных условиях и могут быть различного вида. Однако как в теоретических, так и в практических приложениях наибольшее распространение получил показательный закон распределения, в котором в качестве параметра входит величина ?, называемая средней интенсивностью обслуживания:

С учетом определенных понятий, рассмотрим работу участка по выдаче готовой продукции на ЖБИ.

Рис 4 Граф фазовых состояний одноканальной системы обслуживания

Граф фазовых состояний одноканальной системы показан на рис.4. Как видно из рисунка, в обслуживающей системе одновременно может находиться не более n заявок. Следовательно, если система находиться в фазовом состоянии n то очередной i+1 потребитель уходит из сферы обслуживания.

После составления системы алгебраических уравнений, описывающих поведение системы и ее решения, имеем.

Вероятность нахождения системы в i-ом состоянии

Вероятность того, что в системе отсутствуют потребители, и она заполнена

a=??? (6)

Вероятность занятости канала

Далее в разделе рассматриваются различные типы систем: неуправляемые системы с общей очередью, индивидуальными очередями, управляемые одноканальные и многоканальные системы.

Однако при разработке этих моделей во внимание не принимается факт того, что реальные складские помещения имеют конечную емкость, что делает их непригодными для дальнейших исследований.

В качестве одного из возможных вариантов процесса накопления продукции рассмотрим случай, когда очередные этапы пополнения запасов, осуществляются только после того, как на складе емкости Н запас продукции достигает нулевого уровня. Дополнительно, будем считать, что в процессе пополнения запасов, отпуск готовой продукции потребителям прекращается, вследствие чего происходит задержка в обслуживании потребителей, по аналогии с приемом "товара" в сфере бытового обслуживания.

С учетом сказанного состояние системы обслуживания в момент времени t будем характеризовать двумя числами: i - количество потребителей, находящихся в системе (i= 0, m);j - количество продукции, отпущенное потребителям к этому моменту времени (j = 0, n) со склада Н готовой продукции канала К.

С учетом введённых предположений граф фазовых состояний системы обслуживания с конечной емкостью n складских помещений Н примет вид, показанный на рис. 5. Не трудно убедиться в существенном различии синтезированной модели от модели одноканальной системы обслуживания, рассмотренной выше, в которой емкость n склада Н, по определению, предполагалась равной бесконечности.

Рис.5 Граф фазовых состояний одноканальной системы обслуживания с конечной емкостью складских помещений Н канала К

]„±я^„Ф

&Исследуем характеристики выходящего потока обслуженных потребителей. Анализ процесса функционирования синтезированной математической модели обслуживающей системы с конечной емкостью n склада Н показывает, что система в любой момент времени t может находится в одном из двух взаимоисключающих друг друга режимах работы.

Режим С1 - в системе отсутствуют потребители продукции. Этому случаю сопоставлены фазовые состояния "0j" и /j = 0, n/ (см. рис. 5). В режиме С1 случайные интервалы времени (у между моментами ухода обслуженных потребителей из системы зависит от фазовых состояний, в которых находилась система в момент поступления потребителя.

Режим С2. в этом случае предполагается, что при поступлении очередного потребителя в системе уже находится хотя бы один потребитель и канал К занят обслуживанием. Этому случаю сопоставлены фазовые состояния "ij" (i=1,m; j=1,n).

В рамках поставленных задач исследования нас, в дальнейшем, будут интересовать только предельные характеристики процесса функционирования системы обслуживания, т.е. ситуация, когда имеет место максимальный расход готовой продукции канала К. Этому условию, как было показано выше соответствует режим функционирования С2. В дальнейшем этот режим определим как предельный режим работы системы обслуживания.

Введение предположения о том, что имеет место режим работы С2 позволяет существенно упростить граф фазовых состояний, приведенный на рис. 5. В этом случае, вне зависимости от длины очереди потребителей в системе обслуживания, граф фазовых состояний системы, представленный на рис. 5, легко преобразуется к виду, приведенному на рис. 6

Рис 6 Граф фазовых состояний одноканальной системы в предельном режиме С2

Установим закон распределения случайной величины tр(времени расхода n порций материала из накопителя) в предположении того, что случайные слагаемые, входящие в сумму, представляют собой независимые случайные величины, подчиненные одному и тому же экспоненциальному закону распределения. Как известно из теории вероятностей, закон распределения суммы независимых случайных величин будет представлять собой композицию законов распределения случайных величин, входящих в сумму, получим

Математическое ожидание интервала времени tp затрачиваемого на полный расход n порций материала из накопителя Н определиться

Соответственно средняя интенсивность полного расхода n порций материала определиться как

После составления системы алгебраических уравнений, описывающих вероятностное поведение процесса потребления и пополнения запасов в установившемся режиме, и ее решения получим следующие основные характеристики

Вероятность того, что система находиться в фазовом состоянии P0, и на складских помещениях имеется ровно n порций материала, равна

Вероятность того, что будет израсходовано i порций материала

Вероятность того, что будет израсходовано ровно n порций материала и сработает датчик нижнего уровня, равна

Вероятность Рn равна вероятности Р3 задержки в обслуживании, запрета на выдачу продукции (материалов) потребителям. Вероятностью запрета Р3 будем оценивать эффективность системы пополнения запасов склада Н канала К и использовать в качестве критерия. Чем меньше эта вероятность, тем выше эффективность системы обслуживания потребителей продукции. Поэтому одним из способов выбора наилучшей системы управления процессом пополнения запасов следует считать такой, при котором имеет место минимум вероятности запрета Р3 = Рn.

Другим альтернативным критерием будет Рв- вероятность того что система пополнения запасов включена. В данном случае имеет место равенство этих критериев.

Далее в разделе описываются методы минимизации вероятности задержки в обслуживании, такие как: управление емкостью складских помещений, и управление числом обслуживающих каналов. Проводится анализ оптимальной емкости складских помещений для случая, когда аналитический вид функции стоимости складских площадей равен f(x)=Ц(n).Для метода управления числом обслуживающих каналов, производятся расчеты, аналогичные расчетам для одноканальной системы. Полученные результаты сравниваются на основании двух критериев. Критерий Pз- задержки в обслуживании,(в общем случае характеризует ущерб, наносимый системе, в результате простоя обслуживающих каналов), Рв- вероятность включения системы пополнения запасов (Характеризует ущерб наносимый системе в связи с износом оборудования)

Однако так как понятие гарантированного промежуточного уровня запасов имеет самое широкое распространение в различных сферах промышленного производства и бытового обслуживания, при этом случаи, когда процесс пополнения запасов начинается только при нулевом уровне запасов продукции, является, скорее всего, исключением, чем правилом, делает необходимым рассмотреть третий способ минимизации задержки, а именно управление установкой датчика промежуточного уровня.

В дальнейшем будем считать, что емкость складских площадей Н равна порциям. Текущий расход материала со склада емкости Н будем обозначать буквой i (i = 1, n). Соответственно место установки датчика переменного уровня ДП обозначим, через К (k = 1, n). Следовательно при установке ДП на отметке К гарантированный запас материала (изделий) будет составлять (n - к) порций. Таким образом система пополнения запасов будет включаться всякий раз как только суммарный расход составит i = К порциям.