В силу естественной ограниченности высот, глубин, площадей и координат, распределениями (при соответствующей нормировке) являются также обратные функции типа h(S).

Производная от функции распределения f(h)=dF/dh называется в математике плотностью вероятности, у нас же будет гипсометрическая (батиметрическая) функция f(h)=-dS/dh. Аналогично для графиков, гистограмм, диаграмм и их пространственных аналогов. В частности, топографическая карта представляет собой распределение высот как функцию широты и долготы. И вообще, в отличие от абстрактных случайных величин и вероятностей в математике, распределения, связанные с рельефом, имеют вполне конкретный физический смысл. К тому же, гипсографическая функция (кривая) S(h) является одновременно функцией (кривой) плотности распределения объемов и масс горных пород, создавших рельеф, а первый момент этого распределения определяет потенциальную энергию (топографическую энергию) рельефа в поле силы тяжести [Казанский, 1974, ...2005, 2006], определяемую соотношениями:

В работе, помимо традиционных (одномерных) вариантов распределений (графиков, кривых, гистограмм), впервые широко использованы их пространственные аналоги – карты, поверхности и диаграммы, для которых пока еще нет традиционных названий, поэтому используемые в работе названия нужно рассматривать как предварительные, которые в будущем могут быть изменены. Но в этих названиях, как и в наших публикациях, соблюдается общий принцип: интегральным или кумулятивным функциям распределения и их графическим отображениям соответствует определение «гипсографическая» (или «батиграфическая» - для акваторий), а их производным по высоте – «гипсометрическая» («батиметрическая»).

В качестве примера впервые полученных характеристик глобального рельефа на рис.1 представлены контурные карты распределения средних высот и стандартных отклонений высот для трапеций 5?х10?, рассчитанных программой Surfer и построенная в редакторе Excel. Граница континент-океан четко выделяется на карте средних высот темной областью (изначально рисунок построен в цвете по умолчанию), соответствующей интервалу -1...-2 км. Другие примеры новых (в батиметрии) распределений в зависимости от широты и долготы приводятся на иллюстрациях следующей главы.

Для аппроксимации полученных распределений, вместо простого подбора близких по форме стандартных распределений, используется энергетический принцип, согласно которому рельеф и его энергия взаимосвязаны [Казанский, 1973, 1974б, в]. Этот принцип является следствием теоремы Лиувилля в статистической физике, которая доказывает, что «функция распределения должна быть лишь функцией энергии» [Иванов, 1973, с. 78].

Рис. 1. Карты распределения средних высот (вверху) и стандартных отклонений высот

(внизу) для трапеций 5° по широте и 10° по долготе в равнопромежуточной

цилиндрической проекции.

Прямая связь между рельефом и энергией при любом S(z) выражается интегралами из формул (1), а обратная связь между энергией и рельефом может быть различной (должна задаваться на основе тех или иных «геоморфологических» моделей). В наших работах 1972-2006 гг. используются простейшие модели обратной связи, задаваемые дифференциальными уравнениями:

Решение первого уравнения с учетом нормировки при естественных условиях S(0) = 1, S(z)? 0 при z? ? представляет собой стандартное распределение Вейбулла [Хастингс, Пикок, 1980], примеры использования которого для аппроксимации реальных геоморфологических распределений приведены в [Казанский, 2001в], а второе соотношение совместно с уравнением для прямой связи между энергией и рельефом приводит к дифференциальному уравнению второго порядка (уравнению Бесселя):

общим решением которого (при тех же условиях нормировки для положительных z) является функция [Казанский, 2000, 2001в, 2005г]:

где K?(z) – модифицированная функция Бесселя (функция

Макдональда), Г (?) – гамма функция, 0 < ? = (1- ?.)/(3- ?.) ? 1.

Для z < 0 S(z) =0.

Функция (4) является новым (не известным пока в статистике) типом распределения, которое предложено называть по определяющей его функции К-распределением [Казанский, 1973, 1974б, 2000, 2001в, 2005г]. Графики этого распределения и его плотности в традиционном для статистики стиле приведены на рис. 2, а примеры использования для аппроксимации эмпирических распределений показаны в работах [Казанский, 2001в, 2005г] и в более ранних публикациях, позволяющих причислить это распределение к «чисто геоморфологическим». В данной работе именно это распределение (его частные случаи) будет использоваться для аппроксимации гипсографических и батиграфических кривых. Особо важная роль досталась К-распределению с ?=0.5, которое тождественно распределению Вейбулла при ?=2, известному в статистике также под названием распределения Релея (inverse Gaussian, в англоязычной литературе).

Функций для аппроксимации двухмерных аналогов гипсографических (батиграфических) кривых – поверхностей S(z, ?) и S(z,?), зависящих от широты и долготы, пока нет из-за естественного сложного «рельефа» этих поверхностей (см. рис. 5, 7, 8), которые, в свою очередь, могут стать объектом «гипсометрического» анализа. Анализировать эти поверхности приходится пока с помощью одномерных распределений по широтным или долготным зонам (транссектам), или по отдельным трапециям.

Рис. 2. Кривые К-распределения и его плотности для ? от 0.1 до 0.9 [Казанский, 2001в,

2005г].

При оценке средних глубин океанов традиционно используют две средние глубины – для океана с окраинными морями и без них. Имея аппроксимирующую функцию для батиметрической кривой, можно добавить третью оценку – среднюю глубину по аппроксимирующей кривой. Очевидно, что Нср1

для прямых проекций. Основной проекцией для анализа симметрии-антисимметрии признана равноплощадная проекция Ламберта, сохраняющая симметрию и антисимметрию относительно всех больших кругов, проходящих через центр проекции. Контуры континентов и островов, внутриконтинентальных морей и озер, оси срединно-океанических хребтов и сетка географических координат в MAPLE задавались массивами координат равномерно (примерно через 1° дуги для контуров и точно 2° для сетки географических координат) распределенных точек. Сейчас, правда, на сайте NGDC уже имеется доступная цифровая база данных и для контуров береговой линии.

В главе 3 (РЕЗУЛЬТАТЫ БАТИМЕТРИЧЕСКОГО АНАЛИЗА) демонстрируются результаты статистического анализа рельефа дна океанов и проводится сравнительный анализ сходства и различия батиметрии и морфометрии отдельных океанов и их частей, широтных и долготных зон, Западно-Тихоокеанской зоны перехода. Сначала анализируется батиметрия Мирового океана и его место в глобальном рельефе, затем батиметрия отдельных океанов (рассматриваемых в алфавитном порядке, совпадающим с порядком усложнения их тектоники, по [Пущаровский и др.,1999]), в глобальном рельефе, а также и экспериментальные зависимости (распределения), связывающие между собой глубины, площади и возраст базальтов дна океанов. Результаты анализа представляются в наглядной (графической) форме. Делается вывод об общей термической причине мезозойско-кайнозойской эволюции океанов, соответствующей идее вторичного разогрева верхней мантии в фанерозое [Yano et al., 2001].

Мировой океан в глобальном рельефе. Океаны (Мировой океан) занимают большую часть поверхности Земли и в отношении границ Мирового океана нет никаких разногласий, как в случае границ отдельных океанов [Леонтьев, 1975; Никольский, 2002], — это просто береговая линия континентов и островов. Но в географическом и геологическом отношении понятие «Мировой океан» (как и его размеры) существенно различаются, поскольку, в первом случае, в пределы Мирового океана включены и значительные части подводных окраин континентов, т.е. участков с корой континентального и переходного типа. Наиболее точно границы Мирового океана в геологическом смысле обозначаются интервалом глубин от 1 до 2 км, четко выделенном на карте средних высот (рис.1), хотя на новой гипсометрической кривой (рис. 3, пунктир) локальный минимум, разделяющий континентальную и океаническую части приходится на интервал глубин 0.8-0.9 км. Карта средних высот в океанической части весьма близка (что естественно) мелкомасштабной карте топографии дна океанов.

Рис. 3. Сопоставление глобальных гипсометрических характеристик по различным

данным, приведенным к 50-метровому интервалу высот (слева) и график кумулятивной площади поверхности океанической литосферы с юры по

настоящее время [Maxlow, 1998].

Для общей характеристики батиметрии Мирового океана использована получившая широкое распространение (в различных версиях) карта «Seafloor Topography» В. Смита и Д. Сандвелла (W.H.F. Smith, D.T. Sandwell), построенная по цифровым данными ЕТОРО 2?, по которым автором была рассчитаны и традиционные распределения — гипсометрическая и гипсографическая кривые, приведенные на рис. 3 в сопоставлении с результатами предшествующих расчетов по менее точным картометрическим данным. Как видно по рисунку, наибольшие расхождения между гипсометрическими данными разной детальности наблюдаются именно в океанической части, что лишний раз подчеркивает актуальность ревизии этих данных на основе цифровых данных максимальной детальности. На этом же рисунке показано и возрастное распределение площади океанической коры по [Maxlow, 1998].

Сопоставление основных морфометрических характеристик Мирового океана и его частей, полученных в разное время по разным данным, сделано в Табл. 1. За центральную часть Атлантического океана (СА) взяты низкоширотные площади между параллелями 25°, а за северную (NA) и южную (SA) – площади соответственно севернее и южнее. Деление Индийского океана на западную и восточную части сделано по меридиану 80° в.д,, а Тихого океана – по меридиану 210° в.д. (150° з.д.).

Таблица 1

Основные морфометрические характеристики океанов, в м

Океаны и их части 1 2 3 4 5 6 7 8

Атлантический океан 3597 3900 3575 3663 4200 2167 1630 1640

Северная часть (NA)

Центральная часть (СА)

Южная часть (SA)

Индийский океан 3711 3987 3840 3694 4100 2106 1700 1441

Западная часть (WI)

Восточная часть (EI)

Тихий океан 3976 4334 3940 4108 4300 2092 1900 1327

Западная часть(WP)

Восточная часть (EP)