обнаружено и исследовано существование устойчивых несинфазных колебательных состояний в области сильной связи двух идентичных систем, демонстрирующих удвоения периода при изменении управляющего параметра;

впервые показано, что в системе двух связанных одинаковых элементов с изменяющимися во времени параметрами в зависимости от величины коэффициента связи может наблюдаться запаздывание бифуркаций не только несинфазных, но и синфазных состояний;

проведено управление пространственно-временным хаосом в цепочке неавтономных бистабильных осцилляторов, моделируемых мультимодальными отображениями;

выявлены характерные особенности расположения экстремумов во временных реализациях систем с запаздывающей обратной связью;

предложены новые методы реконструкции модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием для различных классов автоколебательных систем с запаздывающей обратной связью по их хаотическим временным рядам;

впервые продемонстрирована возможность восстановления кольцевых автоколебательных систем с запаздыванием по временным рядам динамических переменных, измеренных в различных точках кольцевой системы;

исследована возможность определения по временному ряду порядка модельного уравнения системы с запаздыванием;

впервые предложены методы восстановления по временным рядам модельных уравнений неавтономных и связанных систем с запаздыванием;

разработана методика выделения информационного сигнала в системах связи с нелинейным подмешиванием при различных конфигурациях передатчика, построенного на основе системы с запаздыванием с неизвестными параметрами;

предложены оригинальные, основанные на непрерывном вейвлетном преобразовании сигналов, методы диагностики по экспериментальным временным рядам наличия или отсутствия синхронизации автоколебаний внешним воздействием с модулированной частотой;

обнаружено существование синхронизации между дыханием и медленными автоколебаниями кровяного давления человека при различных режимах дыхания.

Практическая значимость работы. Результаты исследования бифуркационных переходов в связанных системах с изменяющимися параметрами могут быть использованы для управления бифуркационными процессами и для достижения заданного постбифуркационного состояния системы в условиях воздействия шума. Для целей обработки информации могут оказаться полезными результаты исследований мультистабильности и динамического копирования в решетках бистабильных элементов. Автоколебательные системы с запаздыванием очень широко распространены не только в радиофизике и электронике, но и в нелинейной оптике, биофизике, физиологии и многих других научных дисциплинах. Предложенные в диссертационной работе методы определения их параметров по экспериментальным временным рядам представляют интерес для широкого круга исследователей. Результаты по исследованию систем скрытой передачи информации, построенных на основе систем с запаздыванием, позволяют выработать рекомендации для повышения степени защиты конфиденциальной информации. Предложенные методы диагностики синхронизации автоколебаний представляют практический интерес при исследовании синхронизации колебательных процессов в реальных системах по экспериментальным, сильно зашумленным временным рядам. Анализ синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы оказывается полезен при диагностике ее состояния и контроле эффективности лечения. Подготовленный программный продукт («Программа расчета суммарного процента фазовой синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы человека», свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2005610960) передан в Саратовский НИИ кардиологии и Нижегородскую государственную медицинскую академию, в которых он используется для медицинской диагностики.

Результаты работы используются в учебном процессе на факультете нелинейных процессов и факультете нано- и биомедицинских технологий Саратовского государственного университета.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту

В системе связанных элементов с изменяющимися во времени параметрами с уменьшением скорости изменения управляющего параметра в области мультистабильности уменьшается вероятность установления состояний, соответствующих видам колебаний, возникающим в результате более поздних бифуркаций.

Метод последовательной стабилизации движений элементов позволяет осуществить управление пространственно-временным хаосом в цепочке связанных бистабильных осцилляторов, моделируемой связанными мультимодальными отображениями. Величина управляющего воздействия, необходимого для перевода цепочки из режима пространственно-временного хаоса в области бистабильности в пространственно однородный режим, может быть существенно уменьшена, если на начальном этапе управления воздействовать на систему малым шумом.

Предложенные методы восстановления по хаотическим временным рядам модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием, основанные на статистическом анализе временных интервалов между экстремумами временного ряда системы с запаздыванием и проецировании ее бесконечномерного фазового пространства в подпространства малой размерности, обеспечивают высокое качество реконструкции различных классов систем с запаздывающей обратной связью, включая системы с запаздыванием высокого порядка, системы с несколькими временами задержки, неавтономные и связанные системы с запаздыванием.

Разработанная методика выделения скрытого сигнала сообщения в системах связи, использующих нелинейное подмешивание информационного сигнала в хаотический сигнал системы с запаздыванием, основанная на реконструкции передающей системы с запаздыванием по временному ряду передаваемого сигнала, обеспечивает высокое качество восстановления информационного сигнала при различных конфигурациях передатчика, параметры которого априорно неизвестны.

Анализ разности между мгновенными фазами автоколебаний, вычисленными в моменты времени, сдвинутыми друг относительно друга на некоторую постоянную величину, позволяет определить наличие синхронизации автоколебаний внешним сигналом с изменяющейся частотой по одномерным временным рядам.

Медленные колебания кровяного давления человека с собственной частотой около 0.1 Гц могут быть синхронизованы с дыханием. Предложенная для их описания модель, имеющая вид неавтономной системы с запаздывающей обратной связью, демонстрирует явления захвата частот и фаз медленных колебаний кровяного давления и дыхания, качественно подобные наблюдающимся в эксперименте. Показатели синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы могут быть использованы для диагностики ее состояния.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах в Саратовском филиале ИРЭ РАН, СГУ, Саратовском НИИ кардиологии, университете г. Потсдама (Германия), федеральном политехническим институте г. Лозанны (Швейцария), а также на следующих российских и международных научных конференциях: международной школе по нелинейным явлениям (ISNS) (Нижний Новгород, 1995); International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine (ICND) (Саратов, 1996); International Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES) (Москва, 1997; Budapest, Hungary, 1998; Delft, The Netherlands, 2001); International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA) (Crans-Montana, Switzerland, 1998; Dresden, Germany, 2000); международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (ХАОС) (Саратов, 1998, 2001, 2004); International School “Synchronization: Theory and Application” (Yalta, Ukraine, 2002); International Conference “European Dynamics Days” (Palma de Mallorca, Spain, 2003); Workshop on Detecting and Processing Regularities in High Throughput Biological Data (Piscataway, USA, 2005), школе-семинаре «Динамический хаос и его приложения» (Звенигород, 2007).

Материалы работы использовались при выполнении ряда НИР и научных проектов, поддержанных грантами РФФИ (№96-02-16755, 99-02-17735, 00-02-17441, 01-02-06038, 03-02-17593, 07-02-00589), CRDF (REC-006) и INTAS (93-2492, 03-55-920).

По теме диссертации опубликовано 85 научных работ, включая 35 статей в рецензируемых журналах, 24 статьи в сборниках и трудах конференций, 26 тезисов докладов. Список основных публикаций приведен в конце автореферата.

Достоверность научных выводов подтверждается согласованностью результатов аналитического исследования, численного моделирования и физического эксперимента между собой, а также с результатами других авторов.

Личный вклад автора заключается в выборе направления исследований, в формулировке и постановке основных задач диссертации, определении методов и подходов к их решению, проведении большей части численных расчетов и некоторых экспериментальных исследований, в проведении теоретического анализа и интерпретации полученных результатов. Исследование связанных квадратичных отображений проводилось совместно с Безручко Б.П., Селезневым Е.П и Ивановым Р.Н. Построение моделей и исследование систем с запаздыванием выполнено на паритетных началах с Пономаренко В.И. Методы диагностики синхронизации автоколебаний предложены в соавторстве с Храмовым А.Е., Короновским А.А. и Пономаренко В.И.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Она содержит 389 страниц, включая 140 рисунков, 3 таблицы, 311 наименований цитируемой литературы и 47 наименований работ по теме диссертации.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность проводимых в работе исследований, их научная новизна и практическая значимость, сформулированы цель и задачи диссертации, основные положения и результаты, выносимые на защиту, приведены сведения об апробации результатов и кратко изложено содержание работы.

Первая глава посвящена исследованию дискретной модели пространственно-развитой системы, состоящей в простейшем случае из двух связанных между собой элементов. Изучение мультистабильности колебательных состояний и бассейнов их притяжения в системе двух симметрично связанных нелинейных элементов, демонстрирующих при изменении управляющего параметра переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода, проведено на примере двух связанных квадратичных отображений

где ( — параметр нелинейности, а k — коэффициент связи. В отличие от известных ранее работ, система (1) исследована в более широкой области изменения параметра k.

Сначала рассмотрен случай, когда значения параметров обеих подсистем постоянны. Аналитически обнаружено и численно исследовано существование несинфазных режимов колебаний при сильной связи подсистем. В частности, установлено, что в системе (1) существуют два несинфазных, симметричных относительно замены x на y и y на x цикла периода 1, устойчивых в широкой области параметров. Показано, что области несинфазных колебаний в пространстве параметров связанной системы симметричны относительно линии k=0.5, но сами несинфазные режимы в области слабой и сильной связи качественно различны. Продемонстрировано, что введение связи между элементами приводит к появлению устойчивых режимов, существующих при таких значениях параметра нелинейности, достижение которых в отсутствие связи было бы невозможным. Например, устойчивые несинфазные режимы периода 1 и 2 существуют в системе (1) при значении параметра (, более чем в 3 раза превышающем критическое ((c=2), при котором все синфазные решения уходят на бесконечность. Показано хорошее качественное совпадение результатов исследования мультистабильности колебательных состояний, в том числе хаотических, и их бассейнов притяжения, полученных при численном исследовании системы (1) с дискретным временем, с результатами экспериментального исследования системы двух периодически возбуждаемых RL-диод цепей, связанных через резистор и функционирующих в непрерывном времени.

Затем рассмотрен случай, когда параметр ( системы (1) зависит от времени по кусочно-линейному закону, причем изменение ( происходит в интервале, содержащем бифуркационные значения, то есть, рассмотрена система с динамическими бифуркациями. После достижения параметром нелинейности конечного значения (F выполнялось еще достаточное количество итераций с этим значением для выхода системы на аттрактор. Исследовано явление нарушения равенства вероятностей постбифуркационных состояний связанной системы с изменяющимися во времени параметрами. Проведено исследование вероятности установления и бассейнов притяжения конечных состояний связанной системы (1) в зависимости от скорости изменения управляющего параметра.

Установлено, что в зависимости от величины коэффициента связи в системе наблюдается запаздывание бифуркаций либо несинфазных, либо синфазных состояний, то есть, часть конечных состояний, возможных при (F в стационарном случае, не реализуются при динамических бифуркациях, пока скорость изменения параметра ( не превысит некоторого критического значения. Это объясняется тем, что в системе (1) с постоянными параметрами на плоскости параметров имеются области, в которых в связанной системе существуют только синфазные или только несинфазные режимы колебаний. В динамическом случае при очень малой скорости изменения управляющего параметра в таких областях система успевает выйти на синфазный или несинфазный аттрактор, соответственно. В результате, даже с переходом в область мультистабильности вся область конечных решений системы остается при любых начальных условиях бассейном притяжения ранее возникшего аттрактора и соответствующих ему конечных состояний, отличающихся друг от друга фазой колебаний. Показано, что с уменьшением скорости изменения управляющего параметра в области мультистабильности наблюдается уменьшение вероятности установления состояний, соответствующих видам колебаний, возникающим в результате более поздних бифуркаций.

Исследовано влияние шума на выбор конечного состояния связанной системы с динамическими бифуркациями. Показано, что в результате действия шума вероятности нахождения связанной системы в каждом из возможных конечных состояний начинают выравниваться, причем эффект выравнивания вероятностей тем больше, чем выше уровень шума и меньше скорость изменения управляющего параметра.

Во второй главе изучается динамика пространственно-развитых систем, состоящих из большого числа взаимодействующих элементов. В качестве моделей таких систем исследуются решетки связанных отображений, сконструированные из многопараметрических мультимодальных отображений

описывающих в широкой области параметров динамику диссипативных нелинейных осцилляторов, возбуждаемых периодической внешней силой. Отображения (2), используемые в качестве базовых элементов решеток, демонстрирует мультистабильность, а их параметры характеризуют: A — амплитуду внешнего периодического воздействия, N — частоту внешнего воздействия, нормированную на частоту собственных колебаний осциллятора, d — диссипацию, ( — нелинейность, то есть, представляют собой типичные характеристики неавтономных осцилляторов. Базовые отображения построены с использованием эмпирического подхода по временным реализациям тока в неавтономном колебательном контуре с диодом, являющемся одним из эталонных объектов при экспериментальном исследовании динамического хаоса и широко используемом во многих радиофизических устройствах, таких как параметрические генераторы, перестраиваемые фильтры, умножители и делители частоты. Таким образом, исследуемые в главе модели многоэлементных пространственно-развитых систем более приближены к реальным системам, чем, например, решетки связанных квадратичных или кубических отображений.

Исследование различных моделей ансамбля связанных систем начинается в главе с рассмотрения одномерной решетки (цепочки) неавтономных мультистабильных осцилляторов

, где M — число элементов в цепочке. Проведено исследование пространственно-временных структур в цепочках с различным числом элементов и их эволюции при изменении параметров. Получено уравнение эволюции во времени пространственных мод возмущений цепочки в окрестности неподвижных точек. Показано, что однородные состояния вначале теряют устойчивость по отношению к длинноволновым возмущениям, причем устойчивость к неоднородным возмущениям повышается при увеличении связи между элементами. Эволюция однородных пространственных состояний кольца к хаосу происходит только через последовательность бифуркаций удвоения периода. Для неоднородных состояний показано, что в кольце с нечетным числом элементов переход к хаосу может происходить только через последовательность бифуркаций удвоения периода, а в кольце с четным числом элементов в зависимости от пространственного периода структуры наблюдаются как бифуркации удвоения периода, так и бифуркации рождения тора. Показано, что для пространственно периодических структур длинных цепочек при бифуркации рождения тора наблюдается пространственная модуляция по цепочке (пространственно-временная квазипериодичность), а при бифуркации удвоения временного периода — удвоение пространственного периода структуры. Рассмотренная модель с дискретным временем хорошо качественно описывает пространственно-временные структуры, наблюдаемые в натурном эксперименте в замкнутой цепочке неавтономных резистивно связанных колебательных контуров с диодом, и отражает характер их перехода к хаосу при изменении параметров в зависимости от числа элементов в цепочке.

В области параметров, в которой элементы цепочки обладают бистабильностью, исследована зависимость пространственных режимов от величины коэффициента связи и способа задания начальных условий. С целью учета влияния шума и неидентичности элементов на динамику системы проведены исследования одномерных решеток при добавлении внешнего шума и модуляции одного из управляющих параметров.

С помощью метода последовательной стабилизации движений элементов впервые проведено управление пространственно-временным хаосом в цепочке неавтономных мультистабильных осцилляторов (3). Стабилизация неустойчивых однородных состояний цепочки проведена в режиме развитого пространственно-временного хаоса для двух типичных случаев: при значениях параметров, соответствующих отсутствию гистерезиса и связанной с ним бистабильности в элементах цепочки и при наличии бистабильности одиночных элементов, при которой в них сосуществуют два хаотических аттрактора. Показано, что величина управляющего воздействия, необходимого для перевода цепочки из режима пространственно-временного хаоса в области бистабильности в пространственно однородный режим, может быть существенно уменьшена, если на начальном этапе управления воздействовать на систему малым шумом. Благодаря наличию шума, становятся возможными переключения между бистабильными состояниями элементов. Подавая на систему шум и одновременно воздействуя на нее управляющим сигналом, можно добиться того, что колебания всех элементов цепочки переводятся в окрестность лишь одного выбранного хаотического аттрактора. После чего шум может быть отключен и легко достигнута стабилизация неустойчивого пространственно однородного режима периода 1, входящего в этот аттрактор.