В главе второй обосновываются математические модели и алгоритмы автоматизированных подсистем. Важным элементом процесса ХТО представляется математическая модель объекта, связывающая температуру, давление и состав газовой среды с распределением концентрации компонента (азота, углерода и т. п.) в поверхностном слое изделия.

При постановке задачи обычно предполагается, что концентрация компонента, равная по величине заданному потенциалу атмосферы, устанавливается на поверхности металла в течение сравнительно короткого временного интервала. Решается задача определения кинетики концентрации в поверхностных слоях изделия. Математическое моделирование основано на законе Фика, согласно которому количество вещества, диффундирующего в единицу времени через единицу площади, пропорционально градиенту концентрации этого вещества. Основу модели диффузии составляет уравнение:

где D(х,?,С) — коэффициент диффузии компонента,

С(х,?) — концентрация компонента в точке x в момент ? при соответствующих начальных и граничных условиях.

Граничные условия 1-го рода:

С(0, ?) = С0(0, ?), (2)

где С(0, ?) — концентрация на поверхности в точке x,

С0(0, ?) — потенциал насыщающей атмосферы (предполагается, что поверхностная концентрация остается равной потенциалу среды).

С граничными условиями 1-го рода (2) решается задача реставрационного насыщения при начальных условиях, описывающих начальное распределение концентрации компонента в слое:

С(х, 0) = С? + (Сп – С?)·е–?х, (3)

где С? — концентрация компонента в объеме металла,

Сп — концентрация на поверхности металла,

? — показатель экспоненты.

Таким образом, задача сводится к решению уравнения (1) при начальных условиях (3) и граничных условиях вида, например:

С(0, ?) = C0 = const, (4)

С(?,? )= С(?)= const. (5)

Модель наглядна, дает удовлетворительное аналитическое решение, однако имеет существенный недостаток: коэффициент диффузии и концентрация на поверхности изделия предполагаются постоянными в течение всего процесса, что делает ее малопригодной для многоступенчатых технологических режимов и многофазных систем.

Граничное условие 2-го рода:

где J(?) — поток диффузии компонента через границу газ-металл из активной среды через поверхность вглубь металла.

Решения уравнения (1) для значений времени 1, 2, 3, и 6 часов приведены на рис.2.

Рис.2. Результаты моделирования:

распределение концентрации компонента в стали

Модели с граничным условием 2-го рода, в которых поток является явной функцией времени, ранее использовались сравнительно редко, так как трудно экспериментально оценить кинетику изменения потока во время хода процесса. Например, при газовом азотировании поток азота может быть в принципе определен по среднему привесу образца, отнесенному к времени процесса и площади образца, однако полученное таким образом значение является интегральной характеристикой процесса, и судить по ней о величине потока в каждый конкретный момент времени достаточно сложно.

При расчете двухзонных технологических режимов цементации на первом этапе обычно используется модель диффузионного насыщения при постоянном потенциале углерода в атмосфере, с граничным условием 1-го рода типа (2). Модель имеет вид:

где erf(z) — функция ошибок Гаусса.

На втором этапе насыщения («выдержка») предполагается, что углерод дополнительно не поступает, а его количество, поглощенное на первом этапе цементации, диффундирует в сталь. При этом граничные условия для уравнения (1) приобретают, таким образом, вид:

Начальное условие, определяющее концентрацию углерода в начальный момент времени второго этапа насыщения будет:

С(х,0) = С(х,?1), (9)

где ?1 — время 1-го этапа.

Граничное условие (8) отражает тот факт, что на втором этапе насыщения не происходит перемещения углерода из атмосферы в сталь и обратно.

Граничное условие 3-го рода

также определяет поток через поверхность раздела, который предполагается пропорциональным разности концентраций на поверхности С(0,?) и равновесным с окружающее средой С0(?).

Коэффициент массопереноса К зависит от температуры, свойств обрабатываемого материала и состава насыщающей среды.

Граничные условия типа (10) удовлетворительно отражают процесс, однако существенно усложняют решение задачи.

Для моделирования комбинированных циклов — процессов насыщения в нестационарных условиях уравнение модели имеет вид:

Модель позволяет исследовать самые разные технологические режимы, если известны зависимости от времени углеродного потенциала и коэффициента массопереноса.

Рассмотренные модели позволяют исследовать стадию диффузионного насыщения при изменяющихся характеристиках окружающей среды (потенциале и коэффициенте массопереноса), которые считаются заданными. Определенные трудности при моделировании кинетики ХТО представляет определение коэффициентов диффузии и массопереноса.

В упрощенных моделях процессов, приемлемых для ряда задач ХТО, коэффициент диффузии полагался постоянным, но при более точном описании все же необходимо было учитывать его зависимость от температуры, концентрации и влияния легирующих элементов.

Вводимая в модель зависимость коэффициента диффузии от температуры может быть принята в виде:

где R — газовая постоянная,