Решены новые задачи с неравномерной и разрывной сжимающей нагрузкой (рис. 2). Края пластины за исключением оговоренных случаев принимаются незакреплёнными в плоскости пластины.

Рис. 2. Задачи с неравномерной и разрывной нагрузкой

С учётом симметрии условия на краях для задачи №4 (рис. 2) записываются

Вследствие действия нагрузки в точках 21 и 22 (задача №4 на рис. 2), для напряжений в этих точках справедливы следующие соотношения:

С учётом (8), (9) и симметрии уравнение (6) для точки 22 задачи №4 (рис. 2) записывается так:

Записывая с учётом краевых условий и симметрии уравнения для остальных точек пластины, получаем систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), которая решается с помощью итерационного метода Зейделя.

На рис. 3, 4а показаны эпюры нормальных и касательных напряжений для задачи №4 (рис. 2).

Рис. 3. Эпюры напряжений

в зависимости от шага разбиения одной стороны пластины в задаче №2 (рис. 2), из которого видна монотонная сходимость решения.

по сечению 30-34 и сравнивается с

даются в табл. 1.

,% -6,42% -0,76%. -0,04% 0 0

Остальные результаты даются в диссертации. По ним установлено, что решения задач обладают высокой точностью и монотонной сходимостью в зависимости от уменьшения шага разбиения. Составлена программа на языке программирования C++ для решения задач, сводящихся к плоской задаче теории упругости.

В третьей главе рассматривается алгоритм решения по МПА задачи устойчивости пластин с равномерной сжимающей нагрузкой.

Дифференциальное уравнение устойчивости тонкой пластины:

- цилиндрическая жёсткость, можно представить в безразмерном виде как систему двух дифференциальных уравнений второго порядка:

выбраны согласно рис. 1.

Условия опирания пластины описываются таким образом:

1) Край пластины шарнирно опёрт:

2) Защемлённый край пластины:

3) Свободный от закреплений и сжимающей нагрузки край пластины:

Если на свободном от закрепления крае имеется сжимающая сила:

- безразмерные обобщенные поперечные силы.

соответствует разностное уравнение такого вида:

Разностное уравнение, соответствующее (13) на квадратной сетке и разностные уравнения, описывающие различные условия опирания краёв пластины, а также условия в угловых точках приведены в диссертации.

Итерационный метод принимаем в качестве рабочего и при решении задач устойчивости пластин. На основе полученных уравнений в диссертации построены рекуррентные формулы, удовлетворяющие условиям сходимости итерационного процесса.

- номер итерации.

, найденного из предыдущего разбиения.

По рассмотренному алгоритму решены тестовые задачи (№1 на рис. 5).

Рис. 5. Задачи устойчивости пластин с равномерной нагрузкой

В табл. 2 результаты решения задачи №1 сравниваются с аналитическим решением, приведённым в литературе. В первой строке приводится решение по МПА при различном шаге разбиения меньшей стороны пластины, во второй – аналитическое решение, в третьей – погрешность решения по МПА относительно аналитического решения.

,% -20,1 -6,0 -1,4 0 0

Из табл. 2 видно, что решение по МПА обладает высокой точностью и монотонной сходимостью.

Решены новые задачи устойчивости с равномерно распределённой нагрузкой на краях (№2 на рис. 5, №3, 4 на рис. 6).

Рис. 6. Задачи устойчивости пластин с равномерной нагрузкой

На рис. 5 и 6 а также рис. 2 приняты следующие обозначения:

- свободный от закреплений край пластины;

- жёсткое защемление.

В табл. 3 приведены результаты решения задачи №2 в зависимости от шага разбиения.

(№2) 2,308 2,491 2,528 2,535 2,536