Начальные условия будем считать нулевыми, т.е.

, будем искать в классе функций, представленных в виде

удовлетворяют неравенствам

- конечные величины.

ограничивают длины волн и волновые числа функций внешних усилий, т.е. высокочастотные составляющие внешних усилий отсутствуют или их амплитуды пренебрежимо малы.

, удовлетворяющие уравнению (1.1.5) будем представлять в виде:

(1.1.11)

, тогда получаем

Общие решения уравнения (1.12) имеют вид:

в силу (1.1.14) удовлетворяют уравнению:

, получим выражения (1.1.16):

введем новые:

, а затем сделав обратные преобразования по k,q,p:

точек слоев, получим выражения:

(из равенства 1.1.13).

для каждого из слоев.

Подставим значения напряжений в граничные условия, получим систему интегродифференциальных уравнений для нахождения всех неизвестных функций в общем решении.

Полученная система и будет описывать в общем случае, колебания слоистой среды или слоистой пластины.

2. Общее уравнение поперечных колебаний трехслойной пластины постоянной толщины специального вида

В данной задаче искомые функции, введенные в п.1 для внутреннего слоя определяют поведение точек ее срединной плоскости, а для внешних слоев по плоскостям контакта с внутренним слоем.

Искомые функции для внешних слоев можно выразить через искомые функции для внутренних слоев из граничных условий по поверхностям контакта слоев в виде (1.2.1):

Известно, что поперечные колебания относятся к антисимметричным колебаниям и возникают в том случае, если функции внешних усилий удовлетворяют условиям

Тогда в выражениях общего решения (1.1.14) неизвестные постоянные

В этом случае функции смещений и напряжений можно представить в виде:

Используя соотношения (1.2.4) и граничные условия (1.1.6) и (1.1.7) получим систему уравнений:

(1.2.5) Полученная система является общими уравнениями поперечных колебаний трехслойной пластины постоянной толщины.

3. Приближенные уравнения поперечных колебаний трехслойной пластины постоянной толщины

получим уравнение

Уравнение (1.3.1) содержит производные любого порядка, ясно, что такое уравнение практически невозможно применять при решении конкретных задач.

Если в суммах левой части уравнения (1.3.1) оставить первые два слагаемых, то получим приближенное уравнение 4-го порядка (1.3.2):

4. Исследование пределов применимости приближенных уравнений

. Поэтому, естественно, их невозможно использовать при решении конкретных прикладных задач. Отсюда возникает необходимость ограничить количество членов рядов, т.е. ограничится нулевым, первым, вторым приближением, тем самым получим дифференциальные уравнения конечного значения производных. Для правомерности таких усечений следует проверить сходимость функциональных рядов, входящих в эти уравнения.

, в результате имеем (1.4.1):

Используя принцип Даламбера, определим интервал сходимости этого ряда,

- есть величина сколь угодно малая, то следует, что:

5. Продольные колебания трехслойной пластины постоянной толщины

Продольные колебания возникают в том случае, если функции внешних усилий удовлетворяют условиям:

по формулам:

получим систему интергрально-дифференциальных уравнений:

большим числом слагаемых.