В программе ANSYS реализовано достаточно много вариантов моделей деформирования материалов. Нами были выбраны и исследованы следующие модели, рекомендуемые для описания поведения металлов: модель билинейного кинематического упрочнения (BKIN), использующая критерий текучести Мизеса, ассоциативный закон течения и кинематическое упрочнение; модель полилинейного кинематического упрочнения (MKIN), модель полилинейного изотропного упрочнения (MISO), которая использует сочетание условия текучести Мизеса с изотропным расширением поверхности пластичности и рекомендуется для проведения анализа при больших деформациях.

Для получения решения нелинейных задач устойчивости используется метод Ньютона – Рафсона. При этом вся нагрузка заменяется серией ее небольших приращений и выполнением на каждом таком шаге по нагрузке последовательности линейных приближений до получения состояния равновесия. Каждое линейное приближение требует выполнения равновесных

Подход, использующий процедуру последовательных приближений Ньютона-Рафсона, приводит к следующему соотношению, справедливому для некоторой равновесной итерации: [K] i-1 {(u}i = {F} - {Fel }i-1, (3)

где: [K] i-1 - матрица жесткости на предыдущей итерации; {(u}i - вектор, компонентами которого являются приращения перемещений двух последовательных итераций {u}i = {u }i-1 - {(u}i; {u}i - вектор перемещений, относящихся к текущей итерации; {F} - вектор приложенных к системе сил; {Fel }i-1 - вектор упругих сил, соответствующих перемещениям предыдущей итерации с номером (i - 1).

Для улучшения сходимости итерационного процесса применялась комбинация метода Ньютона-Рафсона с техникой метода ограничивающих дуг (arc-length method). Критической нагрузкой (нагрузкой, соответствующей потере устойчивости) является тот ее уровень, при котором решение начинает расходиться.

Для проведения вычислительных экспериментов нами разработаны программы - макросы на языке APDL. Вычислительные эксперименты по устойчивости пространственных конструкций каркасов проводились на моделях двух видов

Расчетные модели создавались балочными конечными элементами BEAM189. Это квадратичный, 3-узловой, пространственный элемент, имеющий шесть или семь степеней свободы в каждом узле, седьмая степень свободы учитывает депланацию элемента. В основу описания этого элемента положена теория балки Тимошенко, в нем учитываются эффекты деформации сдвига и поддерживаются модели упругости, ползучести и пластичности материала для разных типов сечений. Этот элемент подходит для анализа линейных и нелинейных задач с учетом больших деформаций, а также для решения задач устойчивости конструкций с учетом изгибных и крутильных форм потери устойчивости. Кроме того, данный тип конечного элемента позволяет, используя разные варианты сечений, разбивать эти сечения, вводя дополнительные узлы по радиусу и окружности или по сторонам сечения.

Для уточнения величины критической силы и формы деформирования каркаса далее проводился нелинейный анализ. При этом для получения величины критической силы и графика зависимости нагрузки от перемещений, к узлам рамы (к тем же, что и единичные силы в линейном расчете) прикладывалось постепенно возрастающее кинематическое воздействие.

???$??$????

&лось влияние на результаты расчета: модели деформирования материала; размера поперечного сечения стержней; дискретизации модели.

При использовании разных моделей пластичности, получен практически одинаковый характер зависимости и величины обобщенной критической силы (~ 94 кН). Поэтому далее мы использовали модель билинейного кинематического упрочнения (BKIN).

Исследование влияния размера поперечного сечения стержней (диаметра d) на устойчивость пространственного каркаса выявило следующую картину: при изменении диаметра стержней в конструкции меняется не только величина критической силы, но и форма потери устойчивости. При стержнях диаметром от 5 до 7 мм конструкция деформируется по крутильной форме, при диаметрах 8-9 – по смешанной, при диаметрах от 10 и выше – по изгибной

На рис. 3 показаны зависимости критической силы от диаметра стержней в конструкции в линейном и нелинейном расчетах.

При d=9 мм значения критической силы практически совпадают (гибкость

В процессе проведения нелинейного анализа исследовалось влияние программных параметров (шаг решения, плотность сетки, допускаемая погрешность сходимости), на процесс сходимости и результаты расчета. Эти параметры не всегда можно принимать «по умолчанию». В областях модели, где имеют место пластические деформации (зоны пластических шарниров), необходима разумная плотность точек интегрирования, чтобы отдельный элемент изгибался не более чем на 30 градусов. На каждом шаге решения приращение пластических деформаций не должно превышать 5%.

При расчете на устойчивость каркаса 2-го типа использовались разные варианты приложения нагрузки (узловая Р=1 и распределенная q=1 – на ригели (рис.8)). Кроме того, рассматривались разные варианты граничных условий (без закрепления верхних граней каркаса и с учетом контакта).

для разных вариантов приложения нагрузки получились достаточно близкими: 1063 кН и 1044 кН соответственно (разница 1,8%).

Критическая сила в нелинейном расчете получилась 692 кН. (к узлам рамы вертикально прикладывалось постепенно возрастающее кинематическое воздействие). При определении деформаций в зонах пластических шарниров использовалась более мелкая сетка по сечению стержня.

В третьей главе приводится описание проведенных натурных экспериментов двух моделей пространственных каркасов на устойчивость той же геометрии, что и в вычислительных экспериментах (по 3 каркаса каждого вида).

Для испытаний использовался гидравлический 500т пресс, точность по нагрузке – 16 кг, по деформациям - 0,0036 мм (рис.4). В процессе испытаний образцов регистрировались значения внешней нагрузки Р и перемещения в направлении действия нагрузки. Для снижения трения между образцом и верхней плитой пресса укладывался фторопласт. Нагрузка прикладывалась постепенно со скоростью 2мм/мин, а снималась после того, как была пройдена высшая точка на диаграмме деформирования.

На рис. 5 показаны формы потери устойчивости одного из образцов каждого вида (остальные образцы деформировались аналогично), а на рис. 6 приведены диаграммы изменения критической нагрузки в процессе деформирования каркасов. Два опыта из трех (2 и 3) проводились с разгрузкой. Кроме того, экспериментально определялись физико-механические свойства материала образцов, которые в дальнейшем использовались для уточненных расчетов.

Значения критических сил в экспериментах на 1-й модели получились равными 97кН, 91кН, 92кН, а на 2-й 679кН, 730кН, 642 кН, соответственно.

Известно, что расчетная модель работы сооружения должна правильно и полно отражать работу реального объекта, а математические модели и методы расчета должны исходить из форм деформаций и разрушений, поэтому были скорректированы размеры, физико-механические свойства материала, граничные условия (учет контакта с прессом) в соответствии с результатами экспериментов. Формы деформирования каркасов показаны на рис. 7, 9, расчетные зависимости суммарной вертикальной силы Ркр от перемещений – на рис.10, значения критических нагрузок сведены в табл.1.

Вычислительные эксперименты устойчивости рамных каркасов были выполнены и в программном комплексе MicroFe: для 1-го каркаса по концепции Шенли при различных гипотезах работы материала (по диаграмме Прандтля, по унифицированной диаграмме строительных сталей) с учетом реальных свойств материала. Для расчета второго образца используется концепция “нулевой отпорности”. Результаты расчета обобщенной критической силы, полученной теоретически и экспериментально, приведены в табл. 1.

В четвертой главе разрабатываются теоретические положения новой инженерной методики определения обобщенной критической силы для многопролетных и многоэтажных рам, а также для пространственных рамных каркасов.

(см. рис.11).

На основе введенного допущения доказывается независимость суммарной критической силы от ее распределения между стойками рамы, т.к. независимо от ее распределения в новом положении не меняется равновесие системы (сумма моментов относительно т.1 вырезанной части (рис.11б))

, которую рама способна выдержать до потери устойчивости в зависимости от погонных жесткостей ригелей и стоек.

Определяются границы принятого допущения. Для рам, где распределение сил между стойками крайне неравномерно (к стержням с малой жесткостью приложена большая часть общей силы), принятое допущение может оказаться несправедливым, но такие случаи не представляют большого интереса для практики.

В основе предлагаемой методики расчета лежит положение о том, что любую многопролетную раму можно представить совокупностью Г- образных и Т-образных рам, разрезав ее посередине ригелей. Т-образную раму всегда можно заменить Г-образной с учетом суммирования погонных жесткостей ригелей (при жестком сопряжении ригеля с колонной), а критическая сила для произвольной одноэтажной рамы будет равна сумме критических сил для Г-образных рам входящих в нее (рис.12).

, свободной при этом от горизонтального перемещения. (рис.12в)

Рис. 12. Замена Г-образной рамы стержнем с упругоподатливой на изгиб

-погонная жесткость ригеля, n -количество участков разбиения, равное числу стоек рамы.

Чтобы показать универсальность предложенной формулы (6) и методики были рассмотрены примеры расчета многопролетных рам на устойчивость при действии вертикальной нагрузки, значения погонных жесткостей элементов и распределение нагрузки в которых принимались произвольно. Результаты расчета сравнивались с результатами, полученными методом перемещений. Погрешность не превышала 2,5%.

Рассуждения, применяемые при выводе формулы для одноэтажной рамы можно применить и для многоэтажной рамы. При этом критическая сила будет определяться как сумма критических сил для рам, полученных путем рассечения исходной рамы посередине ригеля (рис.13). Приближенная формула для расчета многоэтажной рамы записывается в виде:

где х1 и х2 - параметры, зависящие от количества этажей.

, где m-число этажей.

Выполнена проверка формулы (7) при разных соотношениях погонных жесткостей (ip/ic=0,33-10), и при разном числе этажей (от 1 до 50). Результаты расчета по этой формуле сравнивались с результатами расчета на устойчивость многоэтажной рамы, полученными в программных комплексах SCAD и Лира. Разница не превышала 5%.

Используя рассмотренный выше подход можно определить критическую силу и для пространственного каркаса как сумму критических сил для плоских рам, вовлеченных в работу. По данной методике определялась обобщенная критическая сила для пространственного каркаса, модель которого была создана и испытана в натурном эксперименте (см. табл.1).

В основу полученных выше формул (6, 7), положено условие о том, что сжатый стержень работает согласно закону Гука.