Здесь индекс “1” относится к параметрам горизонтальной пластины, а индекс “2” - к вертикальной.

Используя метод декомпозиции, получим частотное уравнение вида:

Третья глава Некоторые задачи вынужденных колебаний предварительно напряжённых пластин.

п.1 Нормальный удар по поверхности пластины, шарнирно опёртой по

Рассмотрим задачу о вынужденных колебаниях предварительно напряжённой прямоугольной упругой пластины, шарнирно опёртой по контуру.

При решении задачи будем пользоваться приближённым уравнением вида:

- частное решение неоднородного уравнения.

Общее решение однородного уравнения при заданных граничных условиях можно представить в виде:

- частоты собственных колебаний.

Частное решение будем искать в виде:

Правую часть уравнения (3.1.1) разложим по собственным функциям:

Подставим (3.1.4) в (3.1.1.), получим:

решение которого представим в виде:

Для определения Cj, - воспользуемся методом вариаций.

Общее решение уравнения (3.1.1) будет иметь вид:

п.2 Нормальный удар по поверхности прямоугольной пластины, имеющей различные граничные условия.

Вынужденные колебания пластины описываются уравнением вида:

- коэффициенты, обозначенные в главе 1.

Решение (3.2.1) будем искать в виде:

- произвольное.

Тогда считаем, что правую часть уравнения (3.2.1) можно представить в

обыкновенное дифференциальное уравнение:

Решение однородного уравнения (3.2.4) известно:

Для определения частного решения уравнения (3.2.4) используем метод вариации произвольных постоянных.

Следовательно, общее решение уравнения (3.2.4) имеет вид:

- определяются из граничных и начальных условий.

п.3 Собственные колебания двух пластин, пространство между которыми заполнено упругой средой.

удовлетворяющего волновому уравнению:

и следующим граничным и начальным условиям:

- безразмерные величины прогиба верхней и нижней пластины.

Решение уравнения (3.3.1) будем искать в форме Даламбера

Используя закон Гука и соотношения (3.3.2), выразим нормальное напряжение через функции прогиба:

соответственно, имеем уравнения:

- оператор, зависящий от x.

После проведения необходимых преобразований, получим

. (3.3.11)

Тем самым задача о вынужденных колебаниях двух упругих пластин, пространство между которыми заполнено упругой средой, аналитически полностью решена.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

На основе математического подхода к задаче о колебаниях упругих и вязкоупругих ограниченных средах плоских элементов (типа пластин) поставлена задача о выводе общих уравнений колебаний предварительно напряжённой трансверсально-изотропной однородной пластины.

Получены общие уравнения поперечных колебаний ограниченных пластин, и затем получены приближенные уравнения поперечных колебаний конечного