Delist.ru

Исследование колебаний предварительно напряженных пластин (20.10.2009)

Автор: Хрупов Андрей Александрович

Полученная система и будет описывать в общем случае колебание предварительно напряжённой трансверсально-изотропной пластины.

п.2 Общее уравнение поперечных колебаний предварительно напряжённой трансверсально-изотропной пластины.

Поперечные колебания относятся к антисимметричным колебаниям и возникают в том случае, если функции внешних усилий удовлетворяют условиям:

Тогда из (1.1.13) решение для поперечных колебаний, имеют вид:

Разложим гиперболические функции в выражении (1.2.2) в степенные ряды,

Для простоты решения, введём вспомогательные функции, являющиеся главной частью выражения (1.2.3.), коэффициенты при первых слагаемых:

, получим:

Выражение (1.2.5) и есть общее уравнение поперечных колебаний предварительно напряжённой пластины.

п.3 Приближённое уравнение поперечных колебаний предварительно напряжённой трансверсально-изотропной пластины.

Уравнение колебаний (1.2.5) содержит производные бесконечного порядка, что не всегда удобно при решении конкретных задач.

точек срединной плоскости пластины, ограничимся в рядах (1.2.5) первыми двумя слагаемыми, получи приближённое уравнение четвёртого порядка:

представим в виде:

В этом случае уравнение (1.3.1) представим в виде:

В случае предварительно напряженной упругой изотропной пластины из уравнение колебания имеет вид:

- продольная и поперечная скорость распространения волны.

, то получим уравнение поперечных колебаний пластины без предварительного напряжения.

п.4 Уравнение продольных колебаний предварительно напряжённой пластины.

Продольные колебания возникают в том случае, если функции внешних усилий удовлетворяют условиям:

и общее решение уравнений (1.1.11) имеет вид:

Разложим в (1.4.2) гиперболические функции в степенные ряды:

Введем вспомогательные переменные

, получим систему интегро-дифференциальных уравнений, которая и является общим уравнением продольных колебаний предварительно напряжённых пластин, вида:

получим приближенные уравнения продольных колебаний:

Аналогично можно получить приближенные уравнения любого конечного порядка, если взять конечное число членов в рядах (1.2.5) и (1.4.5).

?чные граничные условия. Для некоторых видов закрепления выведены частотные уравнения и построены графики расчёта.

При решении задач использовалось приближенное уравнение колебания пластинки четвертого порядка:

, (2.1.1)

- оператор Лапласа.

Используя уравнение (2.1.1) для различных граничных условий, получены следующие результаты.

п.1 Собственные поперечные колебания изотропной прямоугольной предварительно напряженной упругой пластины, шарнирно закрепленной по

Решение задачи (2.1.1) будем искать в следующем виде:

- безразмерная частота собственных колебаний пластинки.

Получим частотное уравнение вида:

п.2 Собственные колебания пластины, жёстко закрепленной по контуру.

Граничные условия для данной задачи представим в виде:

Уравнение колебаний имеет вид (2.1.1).

Решение уравнения (2.1.1) будем искать в виде

примет вид:

Введем новые безразмерные координаты и функцию прогиба

В новых координатах уравнение (2.2.3) представим в виде:

загрузка...