Delist.ru

Квантовые явления в динамике молекул и химических реакций (19.08.2007)

Автор: Волохов Вадим Маркович

, (40)

где n номер квазидискретного уровня. Выражение (70) исследовалось численно. Зависимость ( и p(z) от частоты ( внешнего поля реализуется через посредство их зависимостей от (0,(0, (0 и зависимости (0(( ).

Далее в работе рассмотрена модель туннельного переноса протона вдоль Н-связи при наличии двух взаимодействующих электронных состояний. Построено решение системы двух связанных нестационарных уравнений Шредингера с периодическими по времени двух ямными потенциалами и связью (см. рис. 6). Рассмотрим двухканальное нестационарное одномерное уравнение Шредингера:

, (41)

-2х2- матрицы Паули и слагаемое V0 подразумевается умноженным на единичную матрицу. Коэффициенты V0, Vx, Vy , Vz вещественные функции координаты х и времени t,(, (, (, ( - вещественные угловые параметры. Тогда, если V0, Vx , Vy , Vz имеют вид

допускает представление:

-четырех параметрическая унитарная матрица, зависящая от времени.

Имея в виду приложения теории к проблеме переноса протона в фотохромных молекулах, выбираем v(x,t) в виде полинома четвертой степени по координате х,

Далее опуская громоздкие выражения для коэффициентов a,b,c,d,e используем метод аналогичный описанному выше для кубического потенциала

некоммутативны:

Равенства (50)-(51) означают, что (1 и (2 могут быть определены, как общие собственные функции следующих пар коммутирующих операторов:

по времени на nT=2(n/( (n –целое),

является линейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка. Используя метод характеристик, получаем:

и gj(z) – произвольные дифференцируемые функции (j=1,2).

Далее, получаем

вещественные постоянные (j=1,2)

Выбирая энергетические функции v(x,t) и V(x,t) линейными по координате х и независящими от времени t,

приходим (в линейном по (0 приближении) к следующему матричному потенциалу:

являются собственными значениями матрицы (59):

Отметим, что связанные стационарные уравнения Шредингера с линейными термами не допускают точного аналитического решения. В данном случае термы зависят от времени и это обстоятельство позволяет найти точное решение связанных нестацинарных уравнений Шредингера. После перехода к новой искомой вектор-функции

, получаем расцепленные уравнения:

k=1 или 2.

Каждое из уравнений (60) допускает разделение переменных и точно решается в терминах функций Эйри (по координате) и экспонент (по времени). Отметим, что найденные здесь симметрии для системы из двух связанных нестационарных уравнений Шредингера могут быть обобщены и на случай большего числа связанных нестационарных уравнений Шредингера. При соответствующем сужении матричного потенциала n- канального нестационарного уравнения Шредингера симметрия его описывается n- мерной абелевой алгеброй Ли операторов симметрии u, заменой зависимых переменных, оно может быть преобразовано в n не связанных между собой нестационарных уравнений Шредингера.

тастабильного состояния. Влияние внешних факторов моделируется периодической зависимостью от времени потенциала, в котором происходит процесс. Рассматривается одномерный туннельный распад состояния, локализованного в начальный момент в яме, ограниченной с одной стороны бесконечной стенкой и отделенной от свободного пространства прямоугольным барьером. Параметры ямы и барьера заданные периодические функции времени. Время ( туннельного распада метастабильного состояния определяется как время, за которое интеграл от квадрата модуля волновой функции состояния внутри ямы уменьшается в e раз

Волновая функция находится численным решением нестационарного уравнения Шредингера с зависящим от времени потенциалом

В работе рассмотрено три вида периодических колебаний потенциала:

а) колебания высоты барьера, б) колебания ширины барьера, в) колебания высоты возмущающего потенциала в яме.

Начальное условие представляет собой пакет, сконструированный из собственных состояний в яме в начальный момент времени:

- правая граница. То есть на концах отрезка поставлены бесконечные потенциальные стенки. Для того, что бы правое граничное условие имело смысл, необходимо выбирать правую границу настолько далеко, чтобы отраженная волна не вносила искажений в процесс туннелирования. Численные эксперименты показали, что для выполнения этого условия необходимо выбрать координату правой границы примерно на четыре-пять порядков больше чем ширина барьера, что приводит к существенному увеличению времени счета.

[19] в области за барьером. Этот потенциал ослабляет отражение волновой функции от правой границы. Результаты вычислений с мнимым потенциалом сравнивались с расчетом с удаленной правой границей и хорошо совпадают. Введение мнимого потенциала позволило сократить время счеты примерно на три порядка.

Для численного решения нестационарного уравнения Шредингера использовалась формула трапеции для неявной схемы интегрирования, сохраняющая нормировку волновой функции (Метод разработан в математическом отделе ИПХФ Дубовицким В.А.).

Численные расчеты проводились для потенциалов с периодически колеблющимися высотой и шириной барьера, а также с возмущающим потенциалом внутри ямы. Начальные условия задавались в виде пакета или в виде собственного состояния в стационарной яме, локализованных на нижнем уровне.

На рисунке 7 представлены результаты расчетов времен жизни метастабильного состояния в яме в широком диапазоне частот и амплитуд колебаний. Во всех расчетах наблюдается общая зависимость времени распада от частоты, а именно при определенных частотах величина времени распада резко падает. Физическая природа этого эффекта такова: под действием возмущения, вызванного периодически меняющимися параметрами потенциала происходит резонансное заселение более высоких уровней энергии, туннельный распад с которых происходит существенно быстрей. При достаточно большой частоте возмущения возможен переход системы в непрерывный спектр и распад системы становится не туннельным.

В заключение следует отметить, что описанный эффект указывает на возможность управления временем жизни метастабильного состояния оказывая на систему воздействие нужной частоты.

Далее в главе второй проведено исследование туннельной динамики под действием периодического по времени поля в бесконечно глубокой прямоугольной яме, разделенной дельтаобразным барьером:

где ?(x) – дельта функция, b – ширина ям, a и ? – амплитуда и частота воздействия соответственно, ? – положительный параметр, характеризующий величину барьера, m = ? = 1. Задача исследовалась численно и аналитически в широком диапазоне параметров возмущения.

Начальное состояние имеет вид

Это соответствует туннелированию частицы из левой потенциальной ямы в правую под действием переменного поля. Исследуется зависимость времени распада состояния от параметров a и ?. Состояние считается распавшимся, если вероятность обнаружить частицу в той же яме, где она находилась вначале, уменьшается в e раз. Параметры потенциала: b = 7, ? = 0.8. На рис. 8 представлены результаты расчёта в широкой области параметров возмущения, яркость пропорциональна логарифму времени распада. Видно, что зависимость сильно немонотонная и существуют значения параметров возмущения образующие линии на плоскости (a; ?), при которых частица не туннелирует в правую потенциальную яму.

Рассмотрим поведение квазиэнергий при малой амплитуде воздействия:

Пусть известны собственные значения En(0) и собственные функции ?n(0) невозмущенного гамильтониана:

загрузка...