Дальнейшее усложнение модели ансамбля связанных мультистабильных элементов проводится в главе путем пространственного развития модели через увеличение количества элементов и усложнение способа связи между ними. В качестве модели двумерной решетки исследовалось уравнение

а в качестве модели трехмерной решетки уравнение

где i и j определяют положение элемента в двумерной решетке, l — номер слоя, k — коэффициент связи между элементами внутри отдельного слоя, представляющего собой двумерную решетку, h — коэффициент связи между слоями двумерных решеток, а функция f(x) является многопараметрической мультимодальной вида (2). Рассматривался случай связанных квадратных решеток: i=1,(,M, j=1,(,M, l=1,(,L с различным способом задания граничных условий. Проведено исследование пространственно-временных структур в двумерных и трехмерных решетках (4) и (5) при таких значениях параметров, при которых элементы решеток обладают бистабильностью. Исследовано явление динамического копирования в трехмерных решетках (5) при случайных и различных регулярных начальных пространственных распределениях динамической переменной.

В третьей главе рассматриваются пространственно-развитые системы, описываемые бесконечномерными моделями в виде дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

 — параметры, характеризующие инерционные свойства системы, F — некоторая функция. Исследованы особенности временных реализаций автоколебательных систем с запаздыванием. Установлено, что во временных реализациях систем с запаздыванием, описываемых дифференциальным уравнением первого порядка с одним временем задержки, практически отсутствуют экстремумы, удаленные друг от друга на время запаздывания. В результате, при наличии инерционности в системе ((1>0) зависимость числа

Рис. 1. Качественный вид зависимости числа N пар экстремумов хаотического временного ряда системы с запаздыванием, удаленных друг от друга на время (, от величины (. N(() нормировано на общее число экстремумов во временном ряду.

N пар экстремумов хаотической временной реализации, удаленных друг от друга на время (, от величины (, имеет четкий минимум при времени (1, соответствующем времени запаздывания системы, рис. 1. Положение абсолютного максимума на графике N(() определяется величиной параметра (1: с увеличением (1 расстояние (s между минимумом и максимумом увеличивается. Показано, что качественные особенности зависимости N((), обусловленные динамикой системы с запаздыванием, сохраняются при умеренном шуме. Они сохраняется и для временных реализаций систем с запаздыванием высокого порядка, при условии, что параметры (i, характеризующие инерционные свойства системы, достаточно малы. А для хаотических временных реализаций систем с запаздыванием с двумя и более временами задержки показано, что число экстремумов, разделенных временными интервалами, равными этим задержкам, существенно меньше, чем число экстремумов, разделенных другими интервалами времени.

Основное внимание уделяется в главе разработке новых методов восстановления по хаотическим временным рядам модельных уравнений автоколебательных систем с запаздыванием. Предложены оригинальные методы реконструкции дифференциальных уравнений с запаздыванием для различных классов автоколебательных систем с запаздывающей обратной связью. Методы опираются на закономерности расположения экстремумов во временных рядах систем с запаздыванием и проецирование бесконечномерного фазового пространства системы с запаздыванием в специальным образом выбираемые подпространства малой размерности. Выбор пространства вложения определяется при этом общим видом модельного уравнения. Разработанные методы позволяют восстановить время запаздывания, параметры инерционных элементов и вид нелинейной функции. Оригинальный метод определения времени запаздывания требует существенно меньше вычислительных затрат, чем любые другие известные методы. Предложенные способы восстановления нелинейной функции и всех параметров инерционности системы с запаздыванием используют все точки временного ряда, что позволяет успешно применять их к коротким временным рядам и полно восстанавливать нелинейную функцию даже в случаях слаборазвитого хаоса. Для оценки качества восстановления модельного уравнения использованы различные количественные критерии.

Разработанные методы применены для восстановления эталонных дифференциальных уравнений с запаздыванием по их коротким, сильно зашумленным временным рядам. Получено хорошее качество реконструкции модельного уравнения Маккея-Гласса и уравнения Икеды, описывающего динамику пассивного оптического резонатора и имеющего мультимодальную нелинейную функцию. Методы также применены для построения по экспериментальным временным рядам модельных уравнений различных радиотехнических генераторов с запаздывающей обратной связью. В простейшем случае такой генератор может быть представлен кольцом из трех идеализированных элементов: нелинейного, инерционного и задержки. Запаздывание сигнала на время (1 обеспечивается линией задержки, роль нелинейного элемента исполняет усилитель с передаточной характеристикой f, а инерционность определяется фильтром, параметры которого задают величину (1. В случае, когда инерционным элементом является низкочастотный RC-фильтр первого порядка, такой генератор описывается уравнением

??????$?????

??????????$????? ????$???

??????$???

????ов фильтра, RC=(1. Показано, что метод позволяет с хорошей точностью определить параметры генератора и передаточную характеристику усилителя по экспериментальному хаотическому временному ряду.

Метод успешно применен для восстановления по временным рядам модельных и экспериментальных автоколебательных систем второго и третьего порядка с запаздыванием, включая реальные радиотехнические генераторы с запаздывающей обратной связью с различным числом инерционных элементов. Предложена методика определения по временному ряду априорно неизвестного порядка системы с запаздыванием. Показано, что критерием правильного выбора порядка модельного дифференциального уравнения может служить однозначность восстановленной нелинейной функции. Исследовано влияние ограниченной полосы пропускания измерительного канала, характерной при экспериментальных исследованиях, на качество реконструкции систем с запаздыванием по временным рядам.

Исследована возможность восстановления кольцевых автоколебательных систем с запаздыванием по временным рядам различных наблюдаемых динамических переменных, полученным из различных точек системы. Показано, что для реконструкции модельного уравнения такой системы по временному ряду переменной, измеренной между нелинейным и инерционным элементами системы, необходимо провести фильтрацию наблюдаемой переменой низкочастотным фильтром. Предложена процедура, позволяющая подобрать априорно неизвестную частоту среза этого фильтра.

Разработан метод восстановления по хаотическим временным рядам модельных уравнений систем с запаздыванием, характеризуемых наличием двух различных времен задержки. Метод позволяет определить по временному ряду оба времена запаздывания, восстановить вид нелинейных функций с запаздывающим аргументом и определить параметр, характеризующий инерционные свойства системы. Предложена процедура последовательного уточнения параметров, позволяющая существенно повысить быстродействие метода. Работоспособность метода продемонстрирована на примере модельных хаотических временных рядов дифференциального уравнения с двумя временами запаздывания, а также на примере экспериментальных временных рядов радиотехнического генератора с двумя временами запаздывания.

Предложен метод оценки времени задержки и порядка модельного уравнения для автоколебательных систем с запаздыванием, находящихся в периодическом режиме колебаний. Метод основан на анализе отклика этих систем на слабое периодическое импульсное воздействие.

В четвертой главе исследуются пространственно-развитые системы, моделируемые связанными дифференциальными уравнениями с запаздыванием. Построение нелинейных динамических моделей связанных бесконечномерных систем с запаздыванием представляет собой следующий шаг в направлении увеличения сложности пространственно-развитых систем. Впервые решается задача реконструкции модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием для связанных автоколебательных систем с запаздыванием по их хаотическим временным рядам. Предложен метод, позволяющий восстановить параметры связанных систем с запаздыванием, а также установить наличие некоторых видов линейной связи между системами, определить априорно неизвестный тип связи, величину связи и ее направление по хаотическим временным рядам при достаточно высоких уровнях шума. Показано, что методика работоспособна в широком диапазоне изменения коэффициентов связи между системами при различных способах связи систем между собой. Метод применен для восстановления цепочек связанных систем с запаздыванием, описываемых уравнением

где i — номер элемента цепочки, а k — коэффициент связи.

Эффективность метода продемонстрирована на примере хаотических временных рядов связанных уравнений Маккея-Гласса, в том числе для случая, когда системы неидентичны, отличаются способом воздействия друг на друга и находятся под действием шума. Метод успешно применен также для восстановления связанных радиотехнических генераторов с запаздывающей обратной связью по экспериментальным временным рядам напряжения на входе их линий задержки.

Предложен метод восстановления по временным рядам нелинейных динамических моделей систем с запаздывающей обратной связью, находящихся под внешним воздействием. Рассмотрены различные способы внесения внешнего воздействия в систему с запаздыванием. Показано, что вид модельного уравнения для каждого из этих случаев определяет при реконструкции неавтономной системы с запаздыванием выбор пространства вложения малой размерности, в которое траектория движения системы проецируется из ее бесконечномерного фазового пространства. Метод позволяет реконструировать неавтономные системы с запаздыванием даже в случаях, когда способ внесения внешнего воздействия в систему априорно неизвестен. В этом случае, процедура реконструкции позволяет дополнительно установить, каким именно образом осуществлено воздействие на систему. Метод работоспособен в широком диапазоне изменения величины внешнего воздействия, в том числе при уровнях воздействия на систему с запаздыванием, сопоставимых с уровнем собственных колебаний в системе в отсутствие воздействия. Метод протестирован при наличии шума. Его эффективность продемонстрирована на примерах коротких временных рядов при различных видах внешнего воздействия.

Рассмотрены различные способы кодирования и извлечения информации в системах связи, использующих нелинейное подмешивание информационного сигнала в хаотический сигнал системы с запаздыванием. Разработана новая методика выделения скрытого сигнала сообщения в таких системах связи. Методика основана на реконструкции модельного уравнения передающей системы с запаздыванием по временному ряду передаваемого сигнала. Она обеспечивает высокое качество восстановления передаваемого информационного сигнала при различных конфигурациях передатчика, параметры которого априорно неизвестны.

На рис. 2 представлена блок-схема системы передачи информации, в которой информационный сигнал m(t) добавляется с помощью сумматора к хаотическому сигналу x(t) передающей системы, колебания которой описываются уравнением

Рис. 2. Блок-схема системы связи с нелинейным подмешиванием информационного сигнала в сигнал системы с запаздыванием.

передается в канал связи. Возможность выделения в приемнике информационного сигнала, присутствие которого незаметно в передаваемом сигнале s(t), проиллюстрирована для случая, когда хаотический сигнал x(t) передатчика генерируется системой Маккея-Гласса с неизвестными параметрами, а сигнал m(t) представляет собой частотно-модулированный гармонический сигнал. На рис. 3 приведены временные реализации информационного, передаваемого и выделенного сигналов и их спектры мощности. Исследована эффективность метода при наличии шума в канале связи.

, обозначенные цифрами 1, 2 и 3, соответственно.

Показано, что скрытое сообщение может быть успешно выделено в системах связи, имеющих более сложную конфигурацию, при которой информационный сигнал вводится в кольцо обратной связи передающей системы с запаздыванием в одной точке, а в канал связи передается сигнал из другой точки. В этом случае требуется дополнительная обработка сигнала на выходе вычитающего элемента приемника. Хорошее качество восстановления скрытого сообщения продемонстрировано на различных численных примерах при передаче частотно-модулированного гармонического сигнала, подмешанного в хаотический сигнал системы Маккея-Гласса для различных конфигураций передающей системы, и в экспериментальной радиофизической системе при передаче гармонического сигнала, подмешанного в хаотический сигнал генератора с запаздывающей обратной связью с неизвестными параметрами.

Предложен метод определения параметров одномодового полупроводникового лазера с оптической обратной связью, описываемого уравнениями Ланга-Кобаяши. В основе метода лежит хаотическая синхронизация двух однонаправленно связанных лазеров. Предложен способ начальной оценки времени запаздывания в цепи обратной связи лазера, основанный на статистическом анализе специальным образом выбираемых точек временного ряда колебаний интенсивности излучения. Эффективность метода продемонстрирована численно на примере двух однонаправленно связанных систем Ланга-Кобаяши.

В пятой главе разрабатываются новые методы диагностики синхронизации автоколебаний по экспериментальным временным рядам и рассматривается их применение к исследованию внешней синхронизации в модельных радиофизических системах и реальных пространственно-развитых автоколебательных системах, характеризуемых наличием запаздывающей обратной связи.

Предложен метод, позволяющий диагностировать по временным рядам автогенератора и внешнего воздействия наличие синхронизации автоколебаний внешним сигналом с изменяющейся частотой. Метод основан на непрерывном вейвлетном преобразовании сигналов и позволяет отличить внешнюю синхронизацию автоколебаний от случая просачивания внешнего сигнала в наблюдаемый сигнал. Под просачиванием будем понимать линейное перемешивание сигналов автоколебательной системы и внешнего воздействия без изменения частоты автоколебаний, которое часто приводит к ошибочному выводу о наличии синхронизации сигналов. Показано, что случаи синхронизации генератора внешним сигналом и просачивания можно различить, анализируя в вейвлетном спектре мощности динамику временных масштабов, соответствующих основной частоте и ее гармоникам. В случае синхронизации генератора внешним сигналом с линейно изменяющейся частотой в вейвлетном спектре мощности наблюдаются изломы в моменты времени, когда частота внешнего сигнала близка к частоте автономного генератора или ее второй гармонике, отражающие эффект затягивания частоты генератора внешним сигналом. Наряду с изломом на основном временном масштабе s0 наблюдается и излом на масштабе s0/2, соответствующем второй гармонике. В случае эффекта просачивания какие-либо изменения динамики основного временного масштаба в моменты времени, когда частота внешнего сигнала близка к частоте автоколебаний, не приводят к изменению динамики других характерных временных масштабов. Показано, что случаи синхронизации и просачивания можно также различить, исследуя динамику разностей фаз неавтономного автогенератора и внешнего воздействия, вводимых с помощью непрерывного вейвлетного преобразования и вычисляемых вдоль переменного временного масштаба, соответствующего линейно изменяющейся частоте внешнего сигнала. В области внешней синхронизации автоколебаний исследуемая разность фаз меняется монотонно на величину (, а в случае линейного перемешивания сигналов разность фаз меняется по параболическому закону вблизи моментов времени, когда частота внешнего сигнала близка к частоте автономного генератора или ее второй гармонике. Показано, что метод не требует очень точной настройки масштаба наблюдения на временной масштаб, соответствующий изменяющейся частоте внешнего воздействия. Метод протестирован на временных рядах модельной автоколебательной системы (асимметричном генераторе Ван-дер-Поля под внешним воздействием) и применен для исследования по экспериментальным многомерным временным рядам синхронизации автоколебаний кровяного давления с собственной частотой около 0.1 Гц дыханием в сердечно-сосудистой системе человека, характеризуемой наличием запаздывающей обратной связи в системе регуляции кровяного давления.

Предложен новый метод диагностики синхронизации автоколебаний внешним сигналом с изменяющейся частотой по одномерным временным рядам. Метод основан на анализе разности между мгновенными фазами автоколебаний, вычисленными в моменты времени, сдвинутыми друг относительно друга на некоторую постоянную величину. Мгновенные фазы колебаний вводятся с помощью непрерывного вейвлетного преобразования с материнским вейвлетом Морле для временного масштаба, соответствующего основной частоте автономных автоколебаний. Показано, что исследуемая разность фаз остается постоянной в областях отсутствия синхронизации и демонстрирует монотонное, часто близкое к линейному, изменение в областях синхронизации. Метод обладает высокой чувствительностью благодаря тому, что динамика разности фаз рассматривается на временных масштабах, амплитуда которых в вейвлетном спектре велика. Он позволяет диагностировать наличие синхронизации даже в том случае, если закон изменения частоты внешнего воздействия неизвестен. Показано, что метод остается эффективным при высокой зашумленности исследуемого временного ряда и неточной настройке на основной временной масштаб. Метод применен к экспериментальным временным рядам колебаний напряжения на выходе радиотехнического генератора с запаздывающей обратной связью вида (7), возбуждаемого внешним сигналом с частотой, монотонно изменяющейся по нелинейному закону. Динамика генератора описывается дифференциальным уравнением с запаздыванием

где U0 и fd(t) — амплитуда и частота внешнего сигнала, соответственно. Рассмотрены случаи внешнего воздействия с малой и большой амплитудой. Для различных значений U0 показано, что метод позволяет по одномерным временным рядам отчетливо диагностировать режимы синхронизации автоколебаний генератора внешним сигналом и определить их границы.

С помощью предложенного метода диагностики внешней синхронизации автоколебаний по одномерным временным рядам на основе анализа только экспериментальных временных рядов сердцебиения человека исследована синхронизация медленных автоколебаний кровяного давления с собственной частотой около 0.1 Гц дыханием с линейно увеличивающейся частотой. Метод позволяет выявить режим синхронизации 1:1 между медленными колебаниями кровяного давления и дыханием, частота которого меняется вблизи частоты 0.1 Гц.

Шестая глава посвящена построению и исследованию нелинейных моделей с запаздывающей обратной связью для описания системы медленной регуляции кровяного давления и исследованию на модельных и экспериментальных данных синхронизации между основными колебательными процессами в сердечно-сосудистой системе человека, характеризуемой наличием запаздывающих обратных связей.

Исследована возможность восстановления параметров модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием, описывающих медленные автоколебания кровяного давления с собственной частотой около 0.1 Гц, по экспериментальным временным рядам артериального давления. Восстановленные значения параметров модели хорошо согласуются с известными теоретическими оценками.

Предложена новая модель системы медленной регуляции кровяного давления, учитывающая влияние дыхания. Модель имеет вид неавтономной системы с запаздывающей обратной связью, в которой в качестве внешнего воздействия выступает сигнал дыхания. Параметры модели имеют физиологическую интерпретацию и могут быть оценены из эксперимента. Исследована синхронизация автоколебаний модельной системы внешним сигналом. Показано, что при гармоническом внешнем воздействии с линейно изменяющейся частотой предложенная модель демонстрирует явления захвата частот и фаз медленных колебаний кровяного давления и дыхания, качественно подобные наблюдающимся в натурном эксперименте. Результаты модельных и экспериментальных исследований свидетельствуют в пользу того, что система, задающая ритм, отвечающий за низкочастотные колебания кровяного давления, может быть рассмотрена как автогенератор под внешним воздействием при наличии шума.

Проведено исследование синхронизации между основными ритмами сердечно-сосудистой системы человека на основе анализа как многоканальных экспериментальных данных (записей электрокардиограмм, дыхания и пульсограмм), так и одноканальных данных в виде временных рядов сердцебиения. Исследования проведены при различных режимах дыхания: произвольном, с постоянной частотой и с линейно изменяющейся частотой. Продемонстрировано существование у здоровых людей областей синхронизации между дыханием и основным сердечным ритмом и между дыханием и колебаниями кровяного давления с собственной частотой вблизи 0.1 Гц. Синхронизация между указанными ритмами наблюдалась у всех испытуемых при различных режимах дыхания. Показано, что фазы и частоты исследуемых ритмов могут быть захвачены с различными соотношениями n:m, причем в ходе одного эксперимента может наблюдаться несколько различных порядков синхронизации. В экспериментах с заданной частотой дыхания (постоянной или линейно меняющейся) длительность участков синхронизации между дыханием и сердцебиением и между дыханием и медленными колебаниями кровяного давления в среднем больше, чем в случае произвольного дыхания. Исследована зависимость качества синхронизации от положения тела человека и величины вариабельности сердечного ритма.

С помощью различных методов (полосовой фильтрации с последующим преобразованием Гильберта, эмпирической декомпозиции мод и вейвлетного преобразования) продемонстрирована возможность определения из временных рядов сердцебиения (последовательности R-R интервалов) мгновенных фаз и мгновенных частот основных колебательных процессов сердечно-сосудистой системы — основного сердечного ритма, дыхания и медленных колебаний кровяного давления. Показано, что фазы и частоты ритма с собственной частотой вблизи 0.1 Гц, выделенные из ряда R-R интервалов и из ряда кровяного давления здорового человека, достаточно близки, однако демонстрируют между собой большее отличие, чем временные ряды дыхания и респираторного ритма, выделенного из ряда R-R интервалов. Показано, что результаты исследования синхронизации между основными ритмами сердечно-сосудистой системы здоровых людей по одномерным временным рядам сердцебиения качественно совпадают с результатами, полученными при исследовании синхронизации по многоканальным данным.

Исследована синхронизация колебательных процессов с частотой 0.1 Гц, выделенных из рядов R-R интервалов и пульсограмм, у 32 пациентов с ишемической болезнью сердца, находившихся на стационарном лечении в клинике Саратовского НИИ кардиологии по поводу острого инфаркта миокарда. Одновременная регистрация ЭКГ и пульсограмм пациентов проводились дважды: в первые 3–5 дней с момента наступления инфаркта и на третьей неделе течения заболевания. Контрольная группа состояла из здоровых людей без признаков сердечной патологии (23 записи). Обнаружено, что у здоровых людей длительность участков синхронизации исследуемых ритмов в среднем в 3 раза больше, чем у больных, перенесших инфаркт миокарда, а длительность участков синхронизации ритмов у пациентов через 3 недели после инфаркта в среднем в 1.5 раза больше, чем у тех же пациентов на первой неделе после инфаркта. Показано, что показатели синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы могут быть использованы для диагностики ее состояния и контроля эффективности лечения. Создан и зарегистрирован программный продукт, предназначенный для определения степени фазовой синхронизации между колебательными процессами сердечно-сосудистой системы человека на основе расчета суммарного процента фазовой синхронизации колебаний. Программа используется в Саратовском НИИ кардиологии и Нижегородской государственной медицинской академии, где с ее помощью формируется и апробируется новая методика медицинской диагностики.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.