Delist.ru

Методы системного анализа робастной устойчивости (15.08.2007)

Автор: Зеленков Геннадий Анатольевич

. В работе строятся обобщения для полиномов с комплексными коэффициентами, что имеет уже самостоятельный интерес.

дает робастный критерий Найквиста.

Пусть открытая система описывается семейством скалярных передаточных функций,

. Очевидно, выполняется условие

означает здесь норму функции.

При отсутствии неопределенности, такая система, замкнутая единичной обратной связью, является или нет устойчивой, решается с помощью годографа Найквиста. Если же имеется неопределенность описанного выше типа, задача исследования на робастную устойчивость замкнутой системы решается с помощью робастного аналога критерия Найквиста.

Здесь предлагается ставить задачу шире, т.е. исследовать вопрос о робастной k-стабилизации.

удовлетворяют неравенству

-эквивалентности) тогда и только тогда, когда годограф

раз против часовой стрелки, не пересекая его.

В аналитической форме этот графический критерий можно сформулировать следующим образом.

робастно k-стабилизируема тогда и только тогда, когда

Ясно, что при k = 0 имеем робастно устойчивую стабилизацию.

получаются соответствующие вероятностные критерии для робастной устойчивости семейств полиномов.

-эквивалентности.

будем называть:

а) устойчивой, если весь ее спектр локализован слева от мнимой оси;

б) устойчивой по Шуру, если ее спектр локализован внутри круга единичного радиуса.

– слева.

– внутри этого круга.

– размах неопределенности, является значительно более сложной задачей чем исследование полиномиальных семейств. Это связано с тем, что нет аналога теоремы Харитонова и не верна реберная теорема для матричных семейств.

-эквивалентности.

Предлагается другой подход, связанный со сверхустойчивостью матриц.

Определение 6. Если:

ее элементов на главной диагонали имеют положительное диагональное преобладание по строке;

элементов на этой диагонали имеют отрицательное диагональное преобладание по строке;

-диагональной.

-диагональным преобладанием по реальной или мнимой частям.

Покажем, как «работает» этот подход. Рассмотрим интервальное матричное семейство в виде:

элементов выполняется

выполняется

получим радиус сверхустойчивости такого семейства со сверхустойчивой номинальной матрицей.

-диагональной по Шуру, если:

-эквивалентности по Шуру;

ее элементов на главной диагонали удовлетворяют неравенствам:

остальных ее элементов на главной диагонали удовлетворяют неравенствам:

– радиус свехустойчивости по Шуру в этом случае.

c k-диагональным преобладанием по Шуру и неопределенностью любого типа – робастно k-диагональными по Шуру.

Таким образом, в теоремах 18 19 получены критерии робастной k-диагональности матриц, что при k = 0 дает, в частности, критерии робастной сверхустойчивости семейств интервальных матриц линейных непрерывных и дискретных систем управления.

-эквивалентности (матриц).

загрузка...