Delist.ru

Качественные и приближенно-аналитические методы и алгоритмы исследования характеристик динамических систем (15.08.2007)

Автор: Голечков Юрий Иванович

( на XL Всероссийской конференции по проблемам математики, информатики, физики и химии в Российском университете дружбы народов (Москва, 2004 г.);

( на Всероссийской конференции «Качественная теория дифференциальных уравнений и ее приложения» в Рязанском государственном университете им. С.А. Есенина (Рязань, 2006 г.);

( на научно-практической конференции «Современные проблемы взаимодействия подвижного состава и пути. Колесо-рельс ( 2003» (Щербинка, 2003 г.);

( на Международной конференции «Высшее профессиональное заочное образование на железнодорожном транспорте: настоящее и будущее» (Москва, 2001 г.);

( на совместном заседании кафедры математического моделирования, кафедры общей математики и математической физики и кафедры вычислительной математики Тверского государственного университета (Тверь, 2007 г.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 250 с., список литературы включает в себя 186 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

В настоящей диссертации дано развитие качественных, приближенно-аналитических и численных методов и алгоритмов исследования математических моделей динамических систем, моделируемых дифференциальными уравнениями в форме Коши и ньютоновского типа. С помощью названных методов изучаются качественные, асимптотические и количественные характеристики математических моделей динамических систем типов 1 ( 6.

Во Введении содержится обоснование актуальности темы диссертации и характеристика области исследований. Дан обзор и сравнительный анализ научных результатов, относящихся к теме диссертации, приведены основные цели и задачи исследований, охарактеризованы методы решения задач, основные результаты, отмечены их научная новизна и практическая ценность. Приведено краткое содержание работы, а также представлена общая характеристика диссертации.

Первая глава «Качественные методы исследования характеристик динамических систем» диссертации посвящена качественному и асимптотическому изучению характеристик решений математических моделей динамических систем типов 1 ( 5. В частности, приведены изучаемые математические модели (модели типов 1 ? 5) и предварительные сведения.

В первой главе развиты качественные методы исследования характеристик динамических систем. Здесь разработан обобщенный прямой метод Ляпунова исследования математических моделей, описываемых многомерными нелинейными дифференциальными уравнениями первого порядка в форме Коши. Эти модели являются моделями пространства состояний динамической системы и названы моделями типа 1. Для модели типа 1 установлены предложения о локализации положительного предельного множества, из которых вытекают новые условия об асимптотической устойчивости. Для модели типа 1 получен также признак об эвентуальной ограниченности решений и рассмотрены некоторые качественные свойства решений. В данной главе проведен качественный анализ ньютоновской модели (модели типа 2) с неограниченной функцией диссипации и обобщенной матричной модели (модели типа 3). Кроме того, проведен качественный анализ скалярной и векторной моделей (моделей типов 4 и 5), а именно, установлены условия существования периодических решений и дана оценка зон стабильности движения железнодорожного состава. Результаты первой главы служат теоретической основой для первого этапа математического моделирования широкого класса динамических систем нелинейной механики, в частности, в тех случаях, когда рассматривается неограниченная диссипация.

положительно инвариантно , 2) имеют место включения

справедливо соотношение

Этот результат является обобщением и модификацией теоремы

А.А. Шестакова о локализации предельного множества относительно всех фазовых переменных автономной модели типа 1 на базе сходимости в хаусдорфовой метрике. Кроме того, в главе установлен аналогичный результат для случая не всех, а части переменных. Полученные в главе 1 результаты позволяют проводить качественный анализ и исследовать динамические характеристики, что проиллюстрировано на примерах двумерной и четырехмерной динамических систем.

В главе также рассмотрен вопрос о сохранении свойства ограниченности решений при возмущении неавтономной нелинейной модели типа 1. Наряду с системой (1) рассмотрена возмущенная система

Показано, что если для системы (1) выполнено обобщенное условие Липшица, решения системы (1) ограничены и если для возмущенной системы (7) выполнено условие интегральной сходимости, то решения возмущенной системы ограничены.

Указанный результат обобщает исследования Т. Иосидзавы и позволяет изучать свойства ограниченности решений широкого класса моделей, описываемых дифференциальными уравнениями в форме Коши.

Кроме того, в главе 1 дан качественный анализ обобщенной матричной модели движения колесных транспортных средств, описываемой матричным дифференциальным уравнением (3). Рассмотрена модель колебаний грузового вагона и модель движения колесной пары. На основе использования первого метода Ляпунова изучена устойчивость и асимптотическая устойчивость состояний равновесия.

В этой же главе рассмотрены модели типов 4 и 5, описываемые соответственно уравнениями (4) и (5). Известно, что модель, описываемая уравнением движения железнодорожного состава, имеет вид

где v ( cкорость движения, s ( длина пути по данному криволинейному профилю, f(v)(g(v) ( сила, движущая состав и зависящая только от скорости, dy/ds ( синус угла наклона касательной профиля пути к горизонту, ? ( постоянная. Нетрудно показать, что с математической точки зрения модель, описываемая уравнением (8), эквивалентна модели типа 4, описываемой уравнением (4).

-матричной модели типа 5, к которому стремится произвольное решение u(s) ( u*(s) при s( +( или при s ( ((.

Во второй главе «Приближенно-аналитические методы и алгоритмы исследования характеристик динамических систем» рассмотрены вопросы, связанные с дальнейшим развитием и модификацией приближенно-аналитического метода Чаплыгина исследования математических моделей динамических систем. Результатом второй главы является модификация метода Чаплыгина, следствием которой является единообразие метода Чаплыгина для моделей типа 1 в конечномерном и бесконечномерном пространствах. Это дает возможность применять приближенно-аналитический метод Чаплыгина для исследования моделей, описываемых уравнениями с частными производными. В главе показано совпадение последовательности Ньютона для модели типа 1 и последовательности Чаплыгина для оператора, сопоставляемого с этой моделью, и выполнено обобщение метода Чаплыгина, позволяющее накладывать более слабые ограничения на модели по сравнению с предыдущими исследованиями. Указанное обобщение использовано для интегрирования модели, описывающей движение рельсового экипажа (модели типа 4). В главе предложен упрощенный итерационный алгоритм численного решения алгебраической матричной модели Ляпунова (модели типа 6).

Дана оценка ошибки сходимости последовательности Чаплыгина к единственному решению х интегрального уравнения

, (9)

последовательность Чаплыгина

и совпадает с последовательностью Ньютона для оператора

к единственному решению х интегрального уравнения (9) с ошибкой

Установлена сходимость последовательности Чаплыгина в большом, т. е. на всем отрезке [а, b], обобщающая результаты Н.Н. Лузина, С. Олеха,

Ж. Видоссича. Полученные результаты дают возможность получить точную оценку интервала сходимости.

Разработана модификация метода Чаплыгина на основе преобразования Лапласа и приведен соответствующий алгоритм. Модифицированный метод Чаплыгина применен для интегрирования модели типа 4, описывающей движение железнодорожного состава.

Доказано также существование на заданном отрезке асимптотически оптимальной сетки с минимальным числом шагов для численного решения задачи Коши модели типа 1 при заданной погрешности вычислений и предложен соответствующий алгоритм. Приведен иллюстрирующий пример.

Построен алгоритм численного решения задачи Коши модели типа 2, основанный на использовании специальной последовательности целых функций, показана улучшенная сходимость предложенного метода. Установлена связь между задачей численного интегрирования и устойчивостью численного решения задачи Коши для неавтономной скалярной модели типа 1.

, h > 0. Приведен иллюстрирующий пример.

Результаты, полученные во второй главе, дают возможность применять приближенно-аналитический метод Чаплыгина для исследования моделей, описываемых уравнениями с частными производными. Обобщение метода Чаплыгина, выполненное в главе 2, позволяет накладывать более слабые ограничения на исследуемые модели. Модифицированный метод Чаплыгина интегрирования скалярной модели типа 4, описывающей движение железнодорожного состава, может быть легко распространен на многомерное дифференциальное уравнение (5). Построенный в главе алгоритм выбора узлов оптимальной сетки численного решения задачи Коши для модели типа 1 доказывает существование асимптотически оптимальной сетки, обеспечивающей минимальный объем вычислительной работы численного решения задачи Коши для модели типа 1 при наперед заданной погрешности вычислений ? > 0. В главе разработан алгоритм численного решения специальной модели типа 2 на основе последовательности целых функций. Соответствующая программа, написанная в главе 3, обладает быстрой сходимостью и полезна при численном решении дифференциальных уравнений на больших промежутках изменения независимой переменной без существенной потери точности вычислений. В главе 2 предложен также упрощенный алгоритм численного решения алгебраической матричной модели Ляпунова (модели типа 6), в соответствии с которым в главе 3 написана компьютерная программа.

Третья глава диссертации «Проблемно-ориентированные программы исследования характеристик динамических систем» посвящена разработке проблемно-ориентированных программ расчета характеристик динамических транспортных систем, моделируемых матричными дифференциальными уравнениями (модели типа 3) и содержит описания и тексты программ в интегрированной математической среде Maple. Указанные программы позволяют производить расчет характеристик вертикальных колебаний элементов конструкций колесных транспортных систем при движении по неровному пути с заданной формой неровностей, учитывать влияние характеристик демпфирования и жесткости на частоту колебаний кузова и других деталей подвижного состава железнодорожного транспорта. В третьей главе разработаны программы численного решения задачи Коши специальной модели типа 2 с помощью целых функций, а также численного решения матричной модели Ляпунова типа 6, написанные в интегрированной математической среде Mathcad согласно алгоритмам, предложенным в главе 2.

Комплекс программ, содержащийся в этой главе, позволяет проводить исследования математических моделей при решении задач динамики подвижного состава железнодорожного и автомобильного транспорта. В частности, разработанный комплекс программ включает в себя следующие программы: программу численного решения специальной модели типа 2 на основе специальной последовательности целых функций, программу численного решения матричной модели Ляпунова типа 6, программу численного расчета динамических характеристик колесных транспортных средств на основе модели типа 3, программу графической иллюстрации результатов расчета динамических характеристик колесных транспортных средств и программу исследования влияния характеристик демпфирования, геометрических и инерционных характеристик колесных транспортных средств на устойчивость вертикальных колебаний железнодорожного или автомобильного экипажа.

точность вычислений в конце промежутка задания независимой переменной уменьшается примерно на один знак.

( евклидова норма матрицы, ( ( заданная погрешность вычислений. Для запуска этой программы необходимо задать матрицы A и W и погрешность вычислений ( > 0.

Программа расчета динамических параметров колесных транспортных средств написана в среде Maple в соответствии с алгоритмами, приведенными в главы 3 диссертации. Данная программа состоит из трех проблемно-ориентированных подпрограмм: подпрограмма 1, подпрограмма 2 и подпрограмма 3. Подпрограмма 1 предназначена для расчета собственных частот колебаний, перемещений, скоростей и ускорений перемещений узлов колесного транспортного средства при движении по заданному профилю неровностей пути. Подпрограмма 2 позволяет определить характеристики случайных колебаний колесного транспортного средства при движении по пути, поверхность которого имеет случайную последовательность выступов и впадин. Подпрограмма 3, наконец, осуществляет вычисление собственных частот колебаний, перемещений, скоростей и ускорений перемещений элементов железнодорожного вагона в вертикальной плоскости при его движении по неровному железнодорожному пути.

загрузка...