Если модель типа 1 является диссипативной открытой системой, то она определяет структуры, называемые «автоволновым процессом» или «автоволной», причем эти структуры возникают независимо от начальных условий. Простейшие автоволны были изучены А.Н. Колмогоровым,

И.Г. Петровским и Н.С. Пискуновым. Режимы локализации, обострения

и диффузионной неустойчивости автоволн впервые рассмотрены

А.А. Самарским и С.П. Курдюмовым.

Модели типа 1, порождаемые автономными уравнениями, определяют динамические потоки, зависящие от одного параметра, а порождаемые неавтономными уравнениями ( определяют динамические потоки, зависящие от двух параметров. В настоящей диссертации для модели типа 1 и ее частных случаев ставятся и решаются задачи: 1) получения условий асимптотической устойчивости и условий неустойчивости на основе развития метода локализации предельного множества, 2) получения условий ограниченности решений, 3) приближенного интегрирования на основе развития метода Чаплыгина и 4) построения алгоритма выбора узлов оптимальной сетки численного решения.

2. Динамические системы, представимые ньютоновской моделью (моделью типа 2) и описываемые дифференциальным уравнением второго порядка

и e описывают различные характеристики изучаемой динамической системы.

, для которого модели типа 2 обладают свойством асимптотической устойчивости. Для решения этой задачи развит неклассический (обобщенный) прямой метод Ляпунова, дающий возможность существенно улучшить имеющиеся результаты об асимптотической устойчивости и получить конструктивные условия асимптотической устойчивости решений моделей типа 2 с неограниченной функцией диссипации.

Ньютоновская модель типа 2 возникает при описании и изучении нелинейных закономерностей в физике, химии, механике, технике, экономике, социологии, биологии и других науках. В истории науки и техники создание каждой модели ньютоновского типа является фундаментальным событием. Характерны в этом плане эволюции моделей Солнечной системы, построенные Ньютоном и Эйнштейном и решающие задачу определения планетных орбит. Заметный вклад в развитие теории устойчивости ньютоновских моделей внесли работы Н.Н. Красовского, В.А. Якубовича, В.М. Старжинского, Н. Левинсона, С. Лефшеца и многих других ученых.

3. Динамические системы, описываемые матричным дифференциальным уравнением второго порядка,

( евклидово пространство. Такие модели возникают при описании и изучении колебательных процессов летательных аппаратов в воздушном потоке, колебаний корпусов кораблей и подводных лодок при волнении в открытом море, колебаний элементов и узлов подвижного состава железнодорожного и автомобильного транспорта при движении по неровному пути. Особенностями изучаемой модели типа 3 является рассмотрение нестационарного вектора возмущений и большая размерность фазового пространства. До настоящего времени в динамике колесного транспорта в основном рассматривались модели с относительно небольшим числом фазовых переменных (от двух до двенадцати). Однако в ряде задач, связанных с изучением сложных систем подвижного состава, возникает необходимость рассмотрения существенно большего числа переменных, и здесь сказывается недостаточность разработки математического аппарата. В связи с этим возникает необходимость разработки метода исследования модели типа 3 при произвольно большом n. Для модели типа 3 в диссертации поставлены и решены следующие задачи: 1) определить характеристики вертикальных колебаний в математической модели колесного транспортного средства при движении по неровному пути с заданной формой неровностей; реализовать алгоритмы и программы численных расчетов для различных значений скоростей движения; проанализировать влияние роста скорости на характер колебаний и безопасность движения; определить частоту колебаний сиденья водителя, соответствующую зоне комфортности; 2) исследовать случайные колебания в математической модели автомобильного средства, движущегося по неровному пути, имеющему случайную последовательность выступов и впадин; 3) разработать алгоритмы оптимизации проектных параметров железнодорожного экипажа на основе комбинированного подхода, использующего алгоритм квадратичного программирования и генетический алгоритм. Для моделирования движения колесных транспортных средств создан комплекс проблемно-ориентированных компьютерных программ.

4. Динамические системы, описываемые скалярным дифференциальным уравнением вида

где u ( скалярная функция независимой переменной s, P ( непрерывная функция переменной s, Q ( непрерывно дифференцируемая функция переменной u. Соответствующая модель (модель типа 4) возникает при изучении вопроса о движении железнодорожного состава. Она рассматри- валась Н.Н. Лузиным для изучения вопросов качественного исследования движения поезда. В диссертации решена задача о модификации метода Чаплыгина приближенного интегрирования и о применении указанного метода для интегрирования модели типа 4, описывающей движение железнодорожного состава.

5. Динамические системы, описываемые векторным дифференциальным уравнением вида

, P(s) ( непрерывная функция, Q(u) ( непрерывно дифференцируемая функция. Соответствующая математическая модель (модель типа 5) используется для изучения вопроса о характеристиках движении подвижного состава железнодорожного транспорта. В диссертации поставлена и решена следующая задача: провести качественный анализ модели типа 5 с целью установления условий существования периодических решений и оценки зон стабильности движения железнодорожного состава.

6. Динамические системы, описываемые матричным уравнением

A(V + VA = – W, (6)

где А, V и W ( постоянные квадратные матрицы, а штрих означает транспонирование. Это матричная модель Ляпунова или модель типа 6. Модель типа 6 возникает при изучении задач управления, стабилизации движения, при изучении качественных характеристик динамических систем. Несмотря на большое число работ, посвященных исследованию модели типа 6, ряд вопросов оказались нерешенными. В частности, в диссертации предложен эффективный итерационный метод численного решения матричной модели Ляпунова.

Цель работы. Целью диссертационной работы является развитие качественных, приближенно-аналитических и численных методов и алгоритмов исследования математических моделей динамических систем типов 1(6, описываемых нелинейными автономными и неавтономными дифференциальными уравнениями первого порядка типа Коши, ньютоновских моделей динамических систем, описываемых нелинейными скалярными дифференциальными уравнениями второго порядка, а также математическое моделирование движения технических транспортных средств.

Методы исследования. В диссертации широко использованы современные методы качественной теории дифференциальных уравнений и теории устойчивости движения, методы функционального анализа, а также методы математического моделирования и технологии вычислительного эксперимента. Использованы разработанные автором диссертации модификация метода локализации предельного множества для качественного анализа математических моделей типа 1, приближенно-аналитические и численные методы исследования модели типа 1 и ньютоновских моделей типа 2, а также универсальный способ изучения характеристик движения технических транспортных средств.

Научная новизна диссертации заключается в следующем. Разработан качественный метод локализации предельного множества автономной модели типа 1. Разработанный метод позволяет получить новые условия об асимптотической устойчивости движения моделей типа 1 при знакопеременной производной функции Ляпунова. Развиты приближенно-аналитические классические методы Ньютона, Чаплыгина для исследования моделей типа 1. Уточнен метод Ньютона для моделей типа 1 и установлена тождественность последовательностей в методах Ньютона и Чаплыгина для этих моделей. Полученные результаты развивают и обобщают исследования Т. Важевского, А.А. Щелкунова. Условие сходимости последовательности Чаплыгина на всем отрезке обобщает результаты Н.Н. Лузина, С. Олеха и Ж. Видоссича. Развиты численные методы исследования модели типа 2 и матричной модели Ляпунова типа 6. Установлено существование на заданном отрезке асимптотически оптимальной сетки с минимальном числом шагов для численного решения модели типа 1 при заданной погрешности. Получены достаточные условия асимптотической устойчивости без требования знакоопределенности производной функции Ляпунова, что является обобщением и дальнейшем развитием классических результатов. Результаты об устойчивости математических моделей могут применяться в задачах численного интегрирования дифференциальных уравнений при решении многих прикладных задач. Для оптимизации расчета характеристик транспортных динамических систем на основе первого метода Ляпунова предложен универсальный способ исследования влияния параметров диссипации и жесткости, инерционных параметров, а также геометрических параметров проектируемого экипажа на устойчивость движения транспортных динамических систем, разработано соответствующее программное обеспечение. Полученные результаты обобщают, уточняют и развивают результаты Н.Н. Лузина, С.А. Чаплыгина, Н.А. Панькина, Ю.И. Першица, И.П. Исаева, А.Х. Викенса, Е.П. Королькова, Т.А. Тибилова, Ю.М. Черкашина.

Практическая значимость. Результаты диссертации могут быть использованы для качественного анализа характеристик многих механических, физических, химических, биологических, технических и социальных динамических систем. Анализ устойчивости и качественных свойств необходим для обеспечения безопасности и оптимальных режимов функционирования сложных моделей динамических систем. Практическая значимость результатов диссертации состоит также в том, что разработанные диссертантом методы и алгоритмы позволили решить ряд теоретических и прикладных задач теории математического моделирования и явились основой для создания комплекса проблемно-ориентированных компьютерных программ, содержащего реализации как численных методов, так и программ расчета динамических характеристик транспортных средств.

В диссертации разработаны следующие программы расчета динамических характеристик моделей движения колесных транспортных средств:

1) программа численного решения специальной модели типа 2 на основе специальной последовательности целых функций; 2) программа численного решения матричной модели Ляпунова типа 6; 3) программа численного расчета динамических характеристик колесных транспортных средств на основе модели типа 3; 4) программа графической иллюстрации результатов расчета динамических характеристик колесных транспортных средств; 5) программа исследования влияния характеристик демпфирования, геометрических и инерционных характеристик колесных транспортных средств на устойчивость вертикальных колебаний.

С помощью разработанных диссертантом методов исследованы модели движения железнодорожного экипажа, изучена устойчивость вертикальных колебаний колесного транспортного средства и железнодорожного вагона.

Результаты диссертации, касающиеся устойчивости и управления систем железнодорожного транспорта, могут найти применение при решении задач снижения износа гребней колес, снижения износа рельсов, задач оптимизации критических скоростей движения железнодорожного подвижного состава. Кроме того, результаты могут быть использованы при изучении устойчивости установившихся движений экипажа в кривых участках пути и вопросов установки двухосной тележки при ее движении в кривых.

В диссертационной работе получен ряд результатов, которые составляют основу практической методики для оценки критической скорости движения железнодорожного экипажа и для управления движением в условиях высоких скоростей. В этих методиках существенную роль играют методы моделирования на основе использования первого метода Ляпунова и генетических алгоритмов. Автором предложены алгоритмы вычисления критических скоростей движения. Отметим, что предложенные алгоритмы могут быть реализованы в виде компьютерных программ в одной из сред программирования, что позволяет широко использовать их при решении многочисленных технических задач, связанных с разработкой и внедрением новых технических средств и технологических процессов.

Реализация результатов. Результаты диссертации использованы в научно-исследовательской работе, проводимой в Российском государственном

открытом техническом университете путей сообщения, при выполнении научно-исследовательской темы «Устойчивоподобные свойства траекторий динамических систем. Приложения к изучению математических моделей транспортных динамических процессов» (2001 ( 2006 гг.). Результаты использованы также при выполнении работ по плану НИОКР ОАО «Российские железные дороги» по темам «Устойчивоподобные свойства технических систем» (2003 г.) и «Математическое моделирование и оптимизация параметров технических систем железнодорожного транспорта» (2004 г.).

Результаты диссертации могут быть также использованы при чтении курсов математического моделирования, системного анализа, теории устойчивости движения, теории нелинейных колебаний, динамики подвижного состава транспортных динамических систем.

Достоверность полученных результатов основана на корректности постановок задач, строгом использовании аналитических и качественных методов, на сравнении с результатами, полученными с помощью других методов, на результатах моделирования в широком диапазоне условий. Для утверждений даны строгие и корректные доказательства.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 40 научных работ, список которых приведен в конце автореферата. Десять работ из этого списка опубликованы в научных изданиях, рекомендованных ВАК России. Опубликованные работы полно отражают содержание диссертационной работы.

Личный вклад автора в проведенное исследование. В диссертацию включены только те результаты, которые принадлежат лично диссертанту. В совместно опубликованных работах с соавторами последним принадлежат результаты по техническим деталям.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались:

( на научном семинаре по качественной теории и теории устойчивости динамических процессов Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (Москва, 1995(2005 гг.);

( на международном научном семинаре «Applications of the "Mathematiсa" system to social processes and mathematical physics» в Брестском государственном университете (Брест, 2003 г.);

( на научном семинаре по методам нелинейного анализа Вычислительного центра РАН (Москва, 2004 г., 2007 г.);

( на научном семинаре «Нелинейные задачи» Московского отделения Академии нелинейных наук (Москва, 2004 г.);

( на научном семинаре по вариационным принципам и методам в математике и естествознании Российского университета дружбы народов (Москва, 2002 г.);

( на межвузовских научно-методических конференциях «Актуальные проблемы и перспективы развития железнодорожного транспорта» Российского государственного открытого технического университета путей сообщения (Москва, 1996 г., 1997 г., 1998 г.);