Delist.ru

Построение асимптотической теории гиперзвуковых течений неравновесных сред на основе кинетического уравнения Больцмана (09.01.2008)

Автор: ВЕРШОВСКИЙ Антон Константинович

Единственным решением уравнения Больцмана в слое Кнудсена на непроницаемой в главном приближении (при К << 1) зеркально-диффузной поверхности является локально-максвелловская функция распределения f(0)(v) с макроскопическими параметрами v, удовлетворяющими граничным условиям (1).

Поясним, что для ряда физических процессов, таких как испарение и конденсация, гетерогенная каталитическая рекомбинация, аккомодация активных и внутренних степеней свободы молекул и т.д., зеркально-диффузная схема взаимодействия молекул с поверхностью может быть соответствующим образом обобщена. Поэтому в вектор столбец v входят не только параметры газа v и (T – Tw) вблизи стенки с обычной зеркально-диффузной схемой рассеяния Максвелла, но и макроскопические параметры, отвечающие упомянутым гетерогенным процессам.

Во второй главе на основе асимптотического анализа уравнения Больцмана для газа с внутренними степенями свободы исследован вопрос о границах применимости феноменологического описания гиперзвуковых течений вязкого газа. Найдена асимптотическая форма макроскопических уравнений гиперзвукового движения разреженного газа при совершении ньютоновского предельного перехода

в бесконечной цепочке кинетических моментов функции распределения по скоростям молекул (здесь М? – число Маха в набегающем потоке, Res , ? – соответственно число Рейнольдса и степень сжатия во фронте ударной волны).

Видно, что в силу предельного перехода (2) появляется еще один малый параметр ?, помимо числа Кнудсена К, которое непосредственно связано с числом Рейнольдса Res

здесь ?s – коэффициент динамической вязкости при температуре за фронтом скачка Ts.

Малый параметр ? пропорционален обратной величине числа возбужденных степеней свободы молекул I >> 1(поступательных, вращательных, колебательных и т.д.).

Наличие второго малого параметра ? позволяет провести асимптотический анализ уравнения Больцмана даже в тех случаях, когда его левая и правая части имеют одинаковый порядок величины, что, по принятой в кинетической теории газов терминологии, соответствует не континуальному, а т.н. переходному режиму течения разреженного газа.

Проведенные асимптотические оценки позволяют сформулировать следующую теорему, устанавливающую границы применимости асимптотической континуальной теории вязких гиперзвуковых течений:

Таким образом, в ньютоновской кинетической теории нарушение континуального режима вязких гиперзвуковых течений происходит не при числе Кнудсена К ~ 1, а несколько ранее, поскольку ? << 1.

Наличие второго малого параметра ? позволяет также расщепить конвективный оператор уравнения Больцмана (т.е. его левую часть) на главную и поправочную части. При этом для главной части конвективного оператора будет отсутствовать зацепление уравнений для моментов n-го порядка с уравнением для моментов (n+1)-го порядка. Это позволяет провести строгий асимптотический обрыв бесконечной системы уравнений моментов (т.н. уравнений переноса Максвелла) и получить замкнутые выражения для компонент тензора напряжения Р?? и вектора теплового потока q?, нелинейных по компоненте градиента скорости, нормальной к обтекаемой поверхности. Эти выражения для случая плоского или осесимметричного течения газа в системе координат (x,y), где x и y – соответственно тангенциальная и нормальная к поверхности координаты, имеют следующий вид:

, T – соответственно температура поступательных степеней свободы и равновесная температура, Pr – число Прандтля, k, R – соответственно постоянная Больцмана и универсальная газовая постоянная.

= 0 соотношения (3) переходят в соответствующие выражения, полученные Н.К. Ченгом в бесструктурном газе.

Численные исследования уравнений гиперзвукового движения с нелинейными законами переноса (3) для Р?? и q? были проведены в следующих случаях:

Гиперзвуковое обтекание параболоида вращения фреоном-14 при М? = 12, Re? = 145.

Гиперзвуковое обтекание сферического затупления молекулярным азотом при М? = 26, Res = 65.

Гиперзвуковое обтекание скользящего цилиндра при М? = 26, Res = 30.

Обтекание пластины с острой передней кромкой потоком вращательно возбужденного азота при М? = 23.

В результате было получено, что решения уравнений с нелинейными законами переноса (3) лучше совпадают с расчетами по методу Монте-Карло, чем решения уравнений вязкого ударного слоя.

вдоль плоской пластины с острой передней кромкой на основе кинетической версии параболизованных уравнений Навье-Стокса и прямого численного моделирования на основе метода Монте-Карло. Сплошная линия – теория нелинейного переноса, пунктирная линия теория сильного взаимодействия, крестики – прямое численное моделирование.

В третьей главе исследовано влияние поступательной неравновесности на величины констант химических реакций в сильной ударной волне при М? >> 1. Найдены аналитические неаррениусовские представления широкого класса констант таких реакций. Ранее аналогичные представления для отдельных типов реакций были получены В.В. Великодным.

Показано, что в рамках асимптотической гиперзвуковой “?” – модели ударной волны Грэда, в ее простейшем варианте – «пучок – сплошная среда», дополненной учетом химических реакций, поступательно неравновесные константы могут быть получены для любых бинарных реакций, аррениусовский вид которых известен. При этом в поступательно неравновесных константах предэкспоненциальный множитель остается, практически, таким же, как и в равновесных, а экспоненциальный множитель exp(- D) заменяется на более сложное выражение

где Z и D – соответственно безразмерная скорость «пучка» относительно «сплошной среды» и безразмерный энергетический порог реакции, причем первая величина отнесена к тепловой скорости, а вторая – к тепловой энергии молекул «сплошной среды», n – показатель степени предэкспоненциального множителя в константе аррениусовской химической реакции.

При Z = 0 выражение (4) переходит в соответствующий аррениусовский множитель в равновесной константе.

Выражение (4) дает существенное увеличение скорости химической реакции по сравнению с законом Аррениуса, поскольку из-за большой не нулевой скорости относительного движения «пучка» и «сплошной среды» происходит как бы эффективное снижение порога реакции.

В силу структурного подобия формул, полученных для поступательно неравновесных констант, и формул для поступательно равновесных констант, первые из них будут определены при тех же значениях свободных параметров: n, D и т.д., что и второе. Этот результат, предопределенный простотой исходной модели «пучок – сплошная среда», имеет существенное практическое значение, поскольку позволяет модифицировать с помощью соотношения (4), практически, любые сложные системы химических кинетик, используемых в прикладных задачах.

Выражение (4) представляет интерес также и для т.н. обратной задачи: определения сечений молекулярных столкновений по известным температурным зависимостям констант скоростей химических реакций. Для поступательно равновесной кинетики такая проблема была рассмотрена ранее М.А. Рыдалевской. Ввиду большой стоимости экспериментального определения сечений в поступательно-неравновесном газе, их теоретическая оценка может быть практически полезной.

и равновесной концентрации ?е.

вычислялись на характерной толщине ударной волны, где концентрация «пучковых» молекул составляла 0,1 от первоначальной величины.

пренебрежимо малы по сравнению с ?s.

Как показали расчеты более сложной модели диссоциации высокотемпературного воздуха, эффект поступательной неравновесности наиболее сильно влияет на скорости протекания обменных реакций. Как показано на рис.3, в «пучковой модели, из-за многократного возрастания скорости обменной реакции O2 + N ? O + NO внутри фронта ударной волны профиль концентрации молекул NO приобретает довольно резкий максимум.

Рис. 3. Профили массовой доли окиси азота в ударной волне в воздухе.

______ модель пучок-газ, модель Навье-Стокса.

В противоположность этому, при Навье-Стоксовом описании ударной волны с поступательно равновесной термической диссоциацией профиль концентрации молекул NO строго монотонен.

В четвертой главе исследованы течения дисперсных сред с внутренними степенями свободы, с учетом процессов колебательной релаксации в газе, на поверхностях раздела фаз и внутри аэрозольных частиц, а также фазовых переходов – испарения и конденсации.

Идея создания адсорбционного-газодинамического квантового генератора была сформулирована в работе В.К. Конюхова и А.М. Прохорова в 1971 г. В 1978 г. в работе автора, совместно с Кузнецовым В.М., была обоснована принципиальная возможность существования сильной уровневой неравновесности в течениях дисперсной среды за ударными волнами. Эффект инверсной населенности возникал вследствие избирательного возбуждения колебательных мод многоатомных молекул при адсорбции на частицах аэрозоля. Было получено аналитическое решение газодинамической задачи, учитывающее процессы гомогенной и гетерогенной релаксации, протекающих одновременно. В 1976 г. в работах А.М. Прохорова, В.М. Марченко, А.С. Бирюкова, В.И. Алферова и др. был предложен способ создания активной лазерной среды путем ввода в колебательно-возбужденный поток азота (воздуха) аэрозоля углекислоты СО2. Двухфазное смешение потоков имело целью повысить плотность инверсии, энергетические характеристики и однородность активной среды.

В разделе 4.1. процесс смешения двухфазных потоков проанализирован на основе законов сохранения потоков массы, импульса и энергии для течения в канале постоянного поперечного сечения.

Аналитическое решение этой задачи показало, что в результате квазиспутного смешения величины давления и температуры смеси растут с увеличением числа Маха газовой фазы, или нормальной компоненты скорости частиц аэрозоля. Рост давления особенно нежелателен, поскольку он может приводить к нарушению однородности течения. Однако, при специальном выборе исходных параметров потока можно добиться минимальных изменений параметров смеси, в частности неизменности величины давления до и после смешения.

В разделе 4.2. исследован вопрос о влиянии колебательной неравновесности сверхзвукового потока на скорость испарения частиц аэрозоля, их время жизни и глубину проникновения в поток. Благодаря тому, что удельная теплота испарения частиц СО2 намного превышает их тепловую энергию, задача допускает значительные асимптотические упрощения и позволяет найти приближенное аналитическое решение.

Так, для времени испарения частиц, покоящихся относительно газа, была получена конечная формула, включающая вклад теплового потока от неравновесных колебательных степеней свободы при произвольном значении числа Кнудсена по размеру частицы. Существенно отметить, что даже при малых значениях коэффициента аккомодации внутренних степеней свободы ?i (например, ?i ~ ?G, при ?G << 1, ?G – число Кнудсена «по частице») тепловой поток от внутренних степеней свободы может быть соизмеримым с соответствующим потоком от активных степеней свободы.

загрузка...