l1 0 Х

Рис. 6. Установившийся уровень воды в двух взаимодействующих проводящих каналах (сплошная кривая), имеющих разные углы наклонов дна J0.

Интегрирование системы дифференциальных уравнений Сен–Венана (38) вдоль контуров обходов графа Г польдерных систем осуществляется на основе алгоритма численного решения систем гиперболических уравнений (22) - (33).

Начальные условия для системы уравнений (38) задаются в виде:

h1(x, 0) = 3 м; h2(x, 0) = 3 + J02·x2 м; u(x, 0) = 0 м/с. (39)

Граничные условия задаются в виде потока воды Q, используя краевые условия 1–го рода. На левой границе контуров обходов графа ПС, при наличии насосной станции, задается ее производительность:

Q(0, t) = 1.0 м3/с, (40)

а на правой границе контуров обходов графа ПС c учетом непроницаемости торцевых стенок открытых каналов:

Q(xn, t) = 0.0 м3/с. (41)

Результаты численных расчетов. Рассмотрим польдерную систему, состоящую из четырех открытых проводящих каналов одинаковой длины и ширины (а = 4 м), но с разными продольными углами наклона дна J0, имеющую три контура обходов графа (см. рис. 3 и табл. 2). Значения шагов интегрирования по координате х (h = 12 м) и времени t (? = 120 с) задавались равными для каждого проводящего канала. По нелинейности и связанности системы дифференциальных уравнений Сен-Венана (38), проводились три итерации по всем контурам обхода графа ПС.

На рис. 7 приведены результаты численных расчетов пространственно – временных распределений площадей живого сечения F и потоков воды Q для открытых проводящих каналов ПС (время t приводится в часах, расстояния – в км). При этом использовались следующие обозначения: h1i1, h2i2, h3i3 и Q1i1, Q2i2, Q3i3 - пространственные распределения уровней h и потоков воды Q в каналах вдоль 1-го, 2-го и 3-го контуров обходов графа польдерной системы для момента времени t, равного двум часам; (Fj)1,10, (Fj)2,250, (Fj)3,250, (Fj)4,250 и (Qj)1,10, (Qj)2,10, (Qj)3,10, (Qj)4,10 - временные распределения площадей живого сечения F и потоков воды Q в каналах, для номеров пространственных узлов i, равных 10, 250, что соответствует значениям координат xi – 0.12 км, 3 км для 1-го, 2-го, 3-го и 4-го проводящего канала.

Рис. 7. Пространственно-временные распределения площадей живого сечения F, уровня h и потоков воды Q для открытых проводящих каналов ПС, для случая а)

В результате процесса установления уровней воды h в двух соединенных вместе проводящих каналах (время установления около двух часов, см. рис. 7 b-d), имеющих разные продольные углы наклонов дна J0, установившиеся уровни воды h в ОСК (рис. 7 а), имеют разные линейные распределения в зависимости от значений продольных углов наклонов дна каналов J0. Наиболее интенсивные перераспределения уровней воды h в проводящих каналах происходит в течение первого часа процесса и носит волнообразный характер, о чем и свидетельствуют временные распределения площадей живого сечения F и потоков воды Q, приведенные на рис. 7 b-d. Установившиеся значения площадей живого сечения проводящих каналов F, выбранные в точках - х250 = 3 км, обратно пропорциональны продольным углам наклонов дна J0 (см. рис. 10 а). Абсолютные значения потоков воды Q для открытых проводящих каналов ПС при времени t ? 2 часов стремятся к нулю, что следует из рис. 10 с-d. Пространственные распределения уровней h и потоков воды Q имеют линейную зависимость, что характерно и для горизонтально расположенных проводящих каналов.

В пятой главе сформулирована и реализована задача двухмерного моделирования динамики уровневого режима грунтовых вод польдерных систем в горизонтальной плоскости, являющая составной частью ИТНММ ПС. Особое внимание при этом обращалось на разработку экономичных численных методов решения двумерного дифференциального уравнения Буссинеска и переноса воды в ДТ, увязки граничных условий на контуре взаимодействия руслов сети проводящих каналов и осушаемых массивов с учетом стока воды по ДТ, а также построению инвариантного алгоритма, синтезирующего результаты расчетов УГВ, полученные в ЛСК и преобразования их в ОСК.

Расчет УГВ с учетом дренажа и заданием граничных условий в области сопряжения проводящей сети с осушаемым массивом.

Граничные условия. Для вывода формулы, позволяющей рассчитывать значения потока воды в ДТ на левой границе у = 0, рассмотрим построения, приведенные на рис. 8.

h ?ghp ?gHp Нр H H0 р

zp=H0 - p

Рис. 8. Схема системы проводящего канала и прилегающего к нему ОМ для вывода формулы значения потока воды в ДТ на левой границе y= 0 ОМ

Запишем уравнение Бернулли в вертикальных плоскостях Н0, d и h, пренебрегая членами уравнения с квадратами скоростей подъема (спуска) воды в канале и ОМ по сравнению с квадратом скорости воды в ДТ, следующим образом:

где ? – плотность воды, кг/м3; V – скорость воды при выходе из дренажной трубы, м/с; р – глубина закладки ДТ, м; hp= h – zp; Hp= H - zp; Нр – расстояние между УГВ и горизонтом закладки дрен.

Выражая явно скорость воды при выходе из дренажной трубы V и, учитывая, что поток воды в ДТ, равен Q = ?V, получим соотношение для вычисления краевого условия на левой границе для дифференциального уравнения (6) в следующей форме, при УГВ выше уровня воды в проводящих каналах (процесс осушения мелиорированых земель)

. (43)

Уравнение движение сплошной среды по трубопроводу относительно потока жидкости Q записывается в виде:

где Р - давление движущей среды; F – внешние массовые силы.

С учетом построений и обозначений, приведенных на рис. 11, дифференциальное уравнение (44), для переноса воды в ДТ, запишется в следующей форме:

. (45)

Алгоритм численного решения уравнения переноса воды в дренах. Запишем дифференциальное уравнение (45) в следующем виде:

C учетом знака Q > 0 разностная схема бегущего счета для дифференциального уравнения (46) запишется следующим образом:

где m = 1, …, M; j = 0,…, k-1.

Умножая левую и правую часть разностного уравнения (47) на ?, приводя подобные члены, явно выразим искомую функцию Qmj+1

; (48)

m = 1, …, M; j = 0,…, k-1,

Такая методика построения численного решения двухмерного уравнения Буссинеска подразумевает проведение итерационного процесса до получения необходимой точности.

Таким образом, присоединяя краевое условие на левой границе (43) к разностному уравнению (47), построенному по схемам бегущего счета, получим экономичный с вычислительной точки зрения алгоритм численного решения дифференциального уравнения (46), описывающего пространственно-временное распределение потока воды вдоль дренажных труб.

Алгоритм численного решения двумерного дифференциального уравнения Буссинеска (6) реализовался на основе двухшаговой консервативной разностной схемы, с введением полуцелых временных слоев, обеспечивающей второй порядок точности по обеим переменным, т.е. 0(?2+h2) и счетную устойчивость. Следуя приведенному алгоритму в гл. 2, дифференциальное уравнение (6) запишется в виде следующих двух разностных уравнений:

(49)

где hy - шаг интегрирования по оси у; i = 1, 2, …, n - 1 – номер пространственного узла по оси х; m = 1,2,…,M-1 – номер пространственного узла по оси у; j = 0,…,k-1 – номер временного слоя; hy - шаг по оси у.

Алгоритм численного решения двумерного уравнения (6) на разностной сетке строился на основе Т-образных разностных шаблонов (см. гл. 2, рис. 2.7 – 2.8, шаблоны выделены жирными линиями).

Моделирование УГВ реальных польдерных систем. Особенности расчета УГВ реальных польдерных систем связаны с необходимостью моделировать уровневый режим грунтовых вод ОМ в общей системе координат, математически увязывая модели расчетов УГВ для одиночных ОМ, выполненных в локальных системах координат с осью Х, направленной вдоль проводящего канала (см. рис. 3). На рис. 9 приведен фрагмент польдерной системы, состоящий из l-1, l и l+1 проводящих каналов и прилежащих к ним ОМ с указанием их длины: dl-1, dl и dl+1 и ширины ОМ: L2l-1, L2l и L2l+1.