Или в векторном виде:

B0 T0,j+1 = A0 T1,j+1 + F0 . (27)

Рекуррентное соотношение (24) для точки i = 0 в векторной форме записывается в следующем виде:

T0,j+1 = E1 T1,j+1 + W1 . (28)

Умножая слева соотношение (28) на обратную матрицу В0-1 и сравнивая полученное выражение с формулой (26), определяем начальные значения прогоночных коэффициентов E1 и W1:

E111 = A210 / B210; E121 = A220 / B210; E211 = 0; E221 = 0; (29)

W11 = - QT B220 / (F0,j+1 B210) + F20 / B210; W21 = QT / F0,j+1.

Искомые функции Fi,j+1,ui,j+1 в узлах разностной сетки рассчитываются обратной прогонкой (индекс i - уменьшается) на основе скалярных выражений:

Fi,j+1 = E11i+1 Fi+1 + E12i+1 ui+1,j+1 + W1i+1; i = Nx – 1,…, 0;

ui,j+1 = E21i+1 Fi+1 + E22i+1 ui+1,j+1 + W2i+1. (30)

С целью учета сохранения расхода воды и его распределения по каналам в узлах расчетной схемы ПС, введем функцию скорости движения воды в русле канала в следующем виде:

ui+1,j+1 = (F1i - D11i Fi+1,j+1) / D12i . (31)

Тогда прогоночные соотношения (30), после подстановки формулы (36), преобразуются в рекуррентное выражение:

где KF1i+1 = E11i+1 – E12i+1 D11i /D12i; KF2i+1 = W1i+1 + E12i+1 F1i /D12i; KF3i+1 = F1i / D12i; KF4i+1 = D11i /D12i; s – количество обходов открытых каналов. Далее по тексту N = Nx.

При наличии откачивающих насосных станций на правых концах контуров обходов графа ПС задаются значения расхода воды QH. В результате решения квадратного уравнения определяется выражение для расчета значений площади живого сечения FN,j+1 и скорости движения воды в русле каналов uN,j+1, которое образуется при умножении второго уравнения системы уравнений (31) на значения FN,j+1:

uN,j+1 = KF3N / 2 – (KF3N2 / 4 – KF4N QH)0.5;

FN,j+1 = (KF3N – uN,j+1) / KF4N . (33)

Возможность введения новой функции (21), определяющей значения скорости движения воды в руслах каналов, обуславливается семейством характеристик первого канонического уравнения системы уравнений (21) dx / dt = u + c, которые приходят на правую границу при переходе на следующий временной слой. Поэтому, при задании граничных условий на правой границе контура должно использоваться это уравнение и значение расхода воды, аналогично методике задания граничных условий на левой границе (см. систему уравнений (26)). Проведя аналогичные расчеты расчетам граничных параметров на левой границе, можно получить формулу (31). Имея рассчитанные значения FN-1,j+1 и uN-1,j+1 и используя их в качестве “очередных” граничных условий, рассчитываются параметры в следующей точке N-2 и т. д.

Суммирование новых прогоночных коэффициентов KF по количеству обходов каждого канала в процессе обхода всех контуров графа ПС необходимо для учета разделения расхода воды Q при разветвлении одного канала на несколько и наоборот (закон сохранения расхода воды в узлах расчетной схемы ПС).

Таким образом, приведенный алгоритм численного решения системы дифференциальных уравнений Сен-Венана (5) автоматически просчитывает число обхода каждого проводящего канала, используя граф СПОК ПС, формируя реальный суммарный поток воды Q?, который естественным образом разделяется в точках ветвления каналов.

Моделирование сетей проводящих каналов ПС. Для водо-изолированных и горизонтально расположенных проводящих каналов (приток воды в открытые каналы равен нулю q = 0), имеющих прямоугольное сечение, система дифференциальных уравнений Сен-Венана (8), записывается в следующем виде:

Начальные условия для системы уравнений (34) задаются следующим образом:

F(x, 0) = 12 м2; u(x, 0) = 0 м/с. (35)

Граничные условия задаются в виде потока воды Q, используя краевые условия 1–го рода. На левой границе контуров обходов графа ПС в начале первого проводящего канала, при наличии насосной станции, задается ее производительность

Q(0, t) = 1.0 м3/с, (36)

а на правой границе контуров обходов графа ПС c учетом непроницаемости торцевых стенок открытых каналов

Q(xn, t) = 0.0 м3/с. (37)

Интегрирование системы дифференциальных уравнений Сен–Венана (34) вдоль контуров обходов графа Г польдерных систем осуществляется на основе алгоритма численного решения систем гиперболических уравнений (22) - (33).

Результаты численных расчетов параметров сети проводящих каналов реальной польдерной системы, действующей на территории Калининградской области, состоящей из тринадцати проводящих каналов различной длины и шести ветвей обхода графа ПС (рис. 4 и табл. 3) приведены на рис. 5.

Проводящие каналы имеют разную длину (см. табл. 3), но одинаковую ширину, равную а = 4 м, при этом шаги интегрирования по координате h = 15 м и по времени ? = 120 с задаются одинаковыми для каждого канала. Это связано с необходимостью, с одинаковой точностью аппроксимировать систему дифференциальных уравнений конечно-разностными уравнениями, описывающими динамику воды в проводящих каналах различной длины. Действительно, точность аппроксимации дифференциальных уравнений полностью определяется шагами интегрирования по координате h и времени ? и выбранной разностной схемой. Сравнительно небольшое значение шага интегрирования по времени ? определяется не условием счетной устойчивости алгоритма, а характерными временами процесса переноса воды в открытых каналах в момент запуска насосной станции.

6 VIII

9

5 VII 8

IV IX 14

4 10

III XIII

3 X 11 XII 12

I XI

0 13

Рис. 4. Расчетная схема польдерной системы, состоящей из тринадцати проводящих каналов различной длины и шести контуров обходов графа ПС