Граничные условия для дифференциального уравнения Буссинеска (6), описывающего уровневый режим грунтовых вод, задаются для каждого канала на четырех сторонах прямоугольника осушаемого массива, прилегающего к данному каналу, следующем образом:

где L1 – длина открытого канала и осушаемого массива, м; L2 - ширина осушаемого массива, м; LHK-дополнительное фильтрационное сопротивление на контуре взаимодействия руслового потока с грунтовым потоком, м.

, (14)

. (15)

На поверхности почвы (z = H) граничное условие для капиллярного потенциала влаги F, задавалось в зависимости от значения потока суммарного испарения E и интенсивности осадков X. В данных расчетах поток Е принимался равным нулю и значение производной капиллярного потенциала влаги F по координате z, через поток влаги U определялся следующем образом:

где Е- поток суммарного испарения, м3/с; Х - поток атмосферных осадков, м3/с .

определяется как

Таким образом, приведенная выше система нелинейных одномерных и двумерных уравнений в частных производных, совместно с начальными и граничными условиями, представляет собой замкнутую систему моделирующих уравнений, позволяющих рассчитывать параметры ПС.

Интерпретатор полученных результатов. Так, как интегрирование моделирующей системы дифференциальных уравнений проводится в локальных системах координат zl (ЛСК l-го канала), в которых ось хl направлена вдоль проводящего канала, то при анализе численных результатов расчетов, необходимо значения рассчитанных параметров представлять в общей системе координат. Вектор преобразований координат zl из ЛСК в общую систему координат Zi (ОСК) имеет вид:

Zl = Z0l + C(?l)?DLl , (18)

где Z0l – вектор координат начала l-го проводящего канала в ОСК; C(?l)-матрица направляющих косинусов; DLl-вектор длин l-го проводящего канала в ЛСК; l = 0, …, k; k - число проводящих каналов ПС.

Вектор преобразования координат (19) в матричной форме записывается следующим образом:

где dl - длина l-го проводящего канала в ЛСК.

Таким образом, алгоритм вектора преобразований координат zl ОМ и проводящих каналов из ЛСК в общую систему координат Zl (ОСК), полностью определен соотношениями (18) - (19), а, следовательно, все искомые функции, вычисленные в узлах разностной сетки осушаемого массива, могут быть интерпретированы в ОСК.

????????????гоночных соотношений, что в целом позволяет корректно задавать граничные условия, строить разностные схемы с учетом характеристик, а также автоматически учитывать законы сохранения потока воды в СПОК ПС.

Численное решение системы уравнений Сен-Венана, имеющих недивергентные члены, не может быть непосредственно построено из-за двух проблем. Запишем систему уравнений Сен-Венана (8) в следующей форме:

; а = 4 м – ширина канала.

Первая проблема, связанная с недивергентным видом уравнений Сен-Венана и задания граничных условий в зависимости от наклонов характеристик решается сравнительно просто. Система дифференциальных уравнений (20), с помощью некоторых преобразований, приводится к каноническому виду (см. подраздел 2.1.3):

При реалистическом предположении u < c уравнения (21) имеют два семейства характеристик - с положительным тангенсом угла наклона характеристик (первое уравнение dx/dt = u + c > 0) и с отрицательным (второе уравнение dx/dt = u - c < 0) и, следовательно, для первого уравнения характеристики приходят на правую границу, а для второго уравнения - на левую границу, а соответственно, численное решение определяется во всех точках характеристического треугольника, образованного характеристиками.

Вторая проблема, связанная с выполнением закона сохранения потоков в узлах расчетной схемы ПС, значительно сложней первой, рассмотренной выше. Оказалось необходимым изменить общепринятый алгоритм численного решения этой системы уравнений, основанный на методе матричной прогонки.

Это связано с необходимостью выполнения равенства входящих и выходящих из узлов потоков Q (закон сохранения потока в узлах проводящей сети), которое обеспечивается путем подсчета числа обхода каждого открытого канала и постулирования формулы, определяющей значения скорости движения воды в канале и некоторых других концепций. Рассмотрим более подробно такой алгоритм численного решения уравнений Сен-Венана, основанный на разностных схемах бегущего счета:

где Nх и K – число пространственных узлов по оси Х и временных слоев на разностной сетке; ?, h – шаги интегрирования по времени t и оси Х.

Система разностных уравнений (22) записывается в явном трехточечном виде, следующем образом:

Вектор искомых функций Тij+1 определяется следующим рекуррентным соотношением:

; i = n – 1, …, 0; j =0, …, k –1. (24)

Прогоночная матрица Ei и вектор Wi определяются в прямой прогонке (индекс i возрастает) по следующим формулам:

(25)

в формулах (25) имеет вид:

; ?i = D11i( D22i – D12i( D21i;

D21i = B21i; D22i=B22i; D11i =B11i- (C11i( E11i+ C12i( E21i);

D12i = B12i – (C11i( E12i +C12i ( E22i).

Компоненты матрицы прогоночных коэффициентов Еi+1 определяются как:

E11i+1 = - A21i( D12i/?i; E12i+1 = - A22i(D12i/?i;

E21i+1 = A21i( D11i/?i; E22i+1= = A22i(D11i/?i,

а компоненты вектора прогоночных векторов Wi+1:

W1i+1 = (D22i (W1i - D12i(W2i)/ ?i;

W2i+1 = (D11i( W2i - D12i( W1i)/ ?i, i = 0,…, Nx – 1.

и система разрешаемых уравнений на левой границе имеет вид:

- F0,j+1 u0,j+1 = - QT ; (26)

A210 F1,j+1 +A220 u1,j+1 – B210 F0,j+1 – B220 u0,j+1 = F20 .