Delist.ru

Характерные особенности расчетного обоснования прочности (05.09.2007)

Автор: Сергеева Людмила Васильевна

Его можно рассчитать, используя метод эквивалентного объемного интегрирования

Для случая трещины нормального отрыва

(10)

Определить компоненты энергетического интеграла по малой поверхности вокруг трещины трудно, так как нельзя гарантировать, что погрешность будет находиться в заданных пределах. Метод эквивалентного объемного интегрирования позволяет трансформировать поверхностный интеграл в объемный, причем объем интегрирования может быть произвольным.

После преобразования всех величин, в том числе координат, в координатную систему трещины, участок фронта трещины принимает вид прямой. Используя специальные приемы и переходя к объемному интегралу, получаем

При отсутствии неупругих деформаций второе слагаемое в формуле (11) тождественно равно нулю.

и используя интерполяцию перемещений, можно представить первое слагаемое как

Таким образом, метод линейного объемного интегрирования является весьма мощным приемом численного определения энергетического интеграла, так как он полностью заменяет все известные варианты метода виртуального роста трещины и имеет вычислительные преимущества перед непосредственным расчетом J-интеграла по контуру или поверхности.

Глава 2.

Многие изделия атомного машиностроения представляют собой тонкостенные оболочечные или коробчатые конструкции. К ним могут быть отнесены оболочки твэлов, трубопроводы, сосуды давления, патрубки и т.д. При неосесимметричном нагружении или наличии дефектов расчет напряженно-деформированного состояния по двумерным конечно-элементным программам не всегда возможен, а по обычным трехмерным конечно-элементным программам требует большого счетного времени и значительных объемов памяти. Кроме того, наличие трех степеней свободы в каждой точке приводит к большому коэффициенту жесткости для перемещений по толщине оболочки. Это затрудняет проведение расчетов и может явиться причиной плохой обусловленности системы уравнений, если толщина оболочки мала по сравнению с остальными размерами конечного элемента. Для преодоления перечисленных трудностей, а также экономии счетного времени и объема машинной памяти был использован алгоритм, реализованный в трехмерной конечно-элементной программе, который основан на теории оболочек.

изменяются в пределах от — 1 до 1, зависимость

между декартовыми и криволинейными координатами для любой точки можно записать в виде

— функция формы, равная единице в i -м узле и нулю в остальных; n — число узлов.

Р и с. 1. Геометрия конечных элементов. Локальные и глобальные координаты

— локальные координаты узловых точек.

Особенностью данной методики является использование при вычислении матрицы жесткости и других характеристик элемента численного интегрирования с помощью квадратур Гаусса, а именно представление интеграла I в виде полинома

Предполагалось, что число точек интегрирования в оболочках в обоих направлениях одинаково.

Матрица жесткости имеет вид

[K]dxdydz, где [К]= [Вт] [D] [В]. Здесь [D] — матрица упругости.

. В соответствии с теорией оболочек

Для этого используется обычная операция преобразования глобальных производных от перемещений u, v, w в локальные производные от локальных ортогональных перемещений:

= const, находится как векторное произведение любых двух векторов, касательных к этой поверхности:

Матрица [G] приведена в диссертации. Матрица [S] получается из преобразования

[S] — представляет собой матрицу, на главной диагонали которой стоят элементы обратной матрицы от матрицы Якоби [J].

Коэффициенты матрицы Якоби получаются путем дифференцирования уравнений (12) и имеют вид

в данном случае 1 — номер компонента, 3 — номер самого вектора;

Остальные компоненты выглядят аналогично.

Далее вычисляется матрица [Ф], вводимая для получения связи между матрицей-столбцом частных производных от перемещений в декартовых координатах по криволинейным координатам и матрицей-столбцом перемещений узловых точек элемента:

; n— номер узла.

. Интегрирование в пределах от — 1 от 1 выполняется численно с помощью квадратур Гаусса

Для верификации методики были выполнены следующие тесты.

Тестирование напряжений в полом цилиндре.

Тест на растяжение пластины. При решении задачи даже только с двумя квадратичными изопараметрическими конечными элементами перемещения верхнего края получаются равными u = 0,313.102 мм, что совпадает с аналитическим решением.

с данными [1,2] (рис. 2, а).

В соответствии с этим решением прогиб в центре пластины определяется по выражению

— коэффициент Пуассона; а — ширина пластины.

Наконец, сравнились результаты расчета зоны патрубков, полученные по разработанной программе и приведенные в работе Бреббия и др. (см. /30/). Они также совпали (рис. 3). Различие в численном и аналитическом решении не превышало 5%.

Кроме того, для тестирования программы были использованы опубликованные экспериментальные данные. Патрубки были нагружены асимметричной моментной нагрузкой. Были использованы квадратичные конечные элементы. Для увеличения точности измельчалась сетка конечных элементов в зоне максимальной концентрации напряжений, т.е. у границы взаимодействия двух цилиндрических поверхностей.

Была разработана подпрограмма для решения основного уравнения метода конечных элементов с переменной матрицей жесткости. Эта подпрограмма позволяет существенно экономить память и уменьшить время счета.

Главным достоинством используемого приема является то, что он позволяет добиться практически сколь угодно высокой степени точности расчетов. С одной стороны делим общее количество конечных элементов на практически любое число блоков конечных элементов, а с другой количество блоков в элементе не обязательно должно быть постоянным. Так как задача решается частями - в памяти машины одновременно обрабатывается только один блок, указанный прием позволяет ограничиться компьютером с весьма скромными возможностями. При очень высоких требованиях к точности увеличивается лишь время счета.

загрузка...